巧用绝对值的几何意义 有效简化分类讨论

张琦　周孟波

摘要：在初中数学教学中，分类讨论是非常重要的一种数学思想，通过加强对其训练，可以培养学生思维的条理性和缜密性，同时还可以使学生的学习兴趣得到提高，进而提高学习效率。

关键词：绝对值；分类讨论；几何意义

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）07-0119

许多初中生对分类讨论的思想方法存在畏难心理。这也就导致他们在进行数学学习中缺乏学习的自信心，导致其在解题时出现不必要的丢分情况。

行程动点问题与数轴上的动点问题，是分类讨论出错的重灾区，本文将通过巧用绝对值几何意义的方法，有效简化此类复杂的分类讨论。

例1：如图，在一条笔直的东西走向的公路上依次有A、B、C三个加油站，客车甲以每小时50千米，货车乙以每小时70千米，小汽车丙以每小时110千米的速度行驶。

（1）如果客车甲从A加油站出发，货车乙同时从B加油站出发，两车相向而行， 小时后相遇，求A、B两加油站间的距离。

（2）如果客车甲和货车乙同时从A加油站出发前往C加油站，与此同时小汽车丙从C加油站出发，两车先后与丙车相遇，间隔时间为15分钟，求A、C两加油站间的距离。

（3）在（1）（2）的结论下，客车甲从A站，货车乙从B站、小汽车丙從C站同时出发，由东向西行驶，在货车乙还没有追上客车甲的这段时间内，当其中一车与另外两车的距离相等时他们行驶了多少时间？

学生解题情况概述：

对于（1）（2）两小题，超过半数的学生能够做对，但（3）小题的正确率极速下滑，仅有极个别学生能够讨论清楚。

针对题（3）学生出错分析：

第一类：通过计算乙追上甲所需的时间，发现终止位置时，丙已经追上了乙，并且也追上了甲，确定“当其中一车与另外两车的距离相等”的意思为：一是乙在甲丙中间；二是丙在甲乙中间；三是甲在丙乙中间。

第二类：未计算乙追上甲所需的时间，也未分析终止时甲乙丙的位置，确定“当其中一车与另外两车的距离相等”的意思为乙和甲丙两车距离相等：一是乙在甲丙中间，又按从西到东的顺序，把这一点分为了甲乙丙和丙乙甲两小类；二是甲丙在同一位置，又按东西顺序，把这一点分为了甲丙在乙的西侧和甲丙在乙的东侧两小类。

……

第一类都是对“其中一车与另外两车的距离相等”的意思理解出错，认为这句话等价为“一车位于另外两车的中间”，忽略了另外两车在同一位置的情况。第三类是学生对动点的位置关系没有进行分析，直接拿来讨论，导致漏解多解。

教师来支招：

我们知道|a-b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点距离。在这里“其中一车与另外两车的距离相等”，可以想成其中一车表示的点与另外两车表示的点的距离相等。通过此联想，针对第三小题，我们可以通过建立数轴，借用绝对值的几何意义来解题。

解题过程：

（1）（50+70）× =160（千米）

（2）解：设乙丙相遇时间为x，则甲和丙相遇时间为（x+15）分钟.

（70+110） =（50+110） 得

x=120（70+110）×120÷60=360（千米）

（3）解：设当乙车追上甲车时所用时间为x小时，则50x+160=70x，得x=8。所以设行驶的时间为t小时，则0

设甲、乙、丙t小时后所在点为D、E、F，则有点D表示数为-50t，点E表示数为160-70t，点F表示数为360-110t。

车与车的距离可表示为DE=160-20t，DF=360-60t，EF=200-40t。

①DE=DF 160-20t=360-60t 得t1=5，t2=6.5

②DE=EF 160-20t=200-40t 得t3=2，t4=6

③DF=EF 360-60t=200-40t 得t5=5.6，t8=8（舍去）

综上，t1=5，t2=6.5，t3=2，t4=6，t5=5.6。

例2：如图，数轴上线段AB长2个单位长度，CD长4个单位长度，点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16。若线段AB以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动。

（1）运动多长时间后BC长8个单位长度？

（2）当运动到BC为8个单位长度时，点B在数轴上表示的数是_________；

（3）P是线段AB上一点，当点B运动到线段CD上时，是否存在关系式 =3？若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由。

学生解题情况概述：

对于（1）（2）两小题，超过半数的学生能够做对，但题（3）的留空率较高，讨论遗漏重复出错率高。

针对题（3）学生出错分析：

第一类：仅考虑零界点情况，一点B和点C重合；二点C和点A重合；三点B与点D重合。

第二类：仅考虑非零界情况，一点C在点A和点B之间，又根据点P的位置，分为点P线段AC和线段CB上两小类；二点A、B在点C、D之间。

……

这两类情况共同存在的问题：讨论不完全，遗漏其他分类。把零界和非零界的情况统筹起来看，此题如果按照运动时间和点A、B、C、D位置关系进行分类，讨论过程实在太复杂，大大加重学生的畏难心理，很难调动学生学习的兴趣。

教师来支招：

此题为数轴上的动点问题，可直接借用绝对值的几何意义来解题。

解题过程：

（1）运动t秒后，点A所表示数为：-10+6t，点B所表示数为：-8+6t，点C所表示数为：16-2t，点D表示数为20-2t，则BC=24-8t。

由题得：BC=24-8t=8 解得t1=2，t2=4

当t=2，点B所表示的数为4；当t=4，点B所表示的数为16°

解：设点P初始状态所表示数为：x（-10≤x≤-8），则t秒后，点P表示数为：x+6t，则AP=x+10，PC=16-x-8t，BD=28-8t（t≤ ），PD=20-8t-x。

由题得BD-AP=3PC，（28-8t）-（x+10）=316-x-8t

得18-8t-x=316-x-8t

①18-8t-x=3（16-x-8t）得8t+x=15 PD=20-15=5

②18-8t-x=3（16-x-8t）得8t+x=16.5 PD=20-16.5=3.5

综上，PD=5或PD=3.5

由此可以发现，用绝对值的几何意义，来解决行程动点问题与数轴上的动点问题，可以有效简化复杂的分类讨论，把难点从分类讨论转移到解含绝对值的等式。而解含绝对值的等式，分类程序化，主要考验的还是学生的计算能力，可通过一定量的练习，加强这类方法运用，从而提高解题的正确率。

（作者单位：①浙江省宁波市奉化实验中学 315500；②浙江省宁波市奉化实验中学 315500）