从数学本质中提高课堂效率

陶方双

摘要：如何提高高三数学复习课的效率，让学生减少重复低效的劳动而又有所收获，成为广大数学教师探讨和研究的热点话题。

关键词：数学本质；课堂；效率

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）07-0118

一、引言

目前高三数学复习课的情形正如章建跃所言：“大量数学教师在课堂上没有抓住数学概念的核心进行教学，学生经常在没有对数学概念和思想方法有基本了解的情况下就盲目进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，学生花费大量时间学数学，完成无数次的解题训练，但他们的数学基础仍非常脆弱。”本文以高考中的几个热点知识和概念为例，浅谈如何对核心概念进行的复习，并构建一堂高效的数学复习课。

案例1：《平面向量基本定理的复习》笔者以2016年杭州第一次模拟卷中的试题为引题：

设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若 =λ1 +λ2 ，则（ ）

A. = B. =

C. = D. =

分析：此题信息较集中，学生不容易找到突破点因而此题得分率较低。而部分教师在做试卷分析时还美其名曰此题需要用三角形内心性质：a +b +a = ，也有教师建议用特殊值法处理：∠A=90°，b=4，c=3等方法。用三角形内心的向量表达式能快速解题，然而这些都增加了学生负担；用特殊值法解题能快速得到答案，然而学生知其然而不知其所以然。解题过程过于注重技巧，淡化对概念的理解，忽视对蕴含其中的核心数学思想方法的揭示，从而使整个讲解显得立意不高，学生的思维能力没有得到实在性发展，这种舍本逐末的做法结果往往事倍功半。

教师引导：“O是△ABC的内心”解读为O是三角形角平分线的交点；向量方程 =λ1 +λ2 本质是平面向量基本定理的内容。基本定理从形上表示的内容是λ1 ，λ2 为邻边 为对角线的平行四边形，结合 为∠A的角平分线，所以所做平行四边形为菱形，即λ1 =λ2 ，所以答案选C。平面向量基本定理的内容是平面任意向量都可以由两个不共线向量线性表示且表示唯一，然而我们应该更深刻地知道平面向量基本定理体现的几何意义及应用。笔者以此为契机抛出几道变式题：

变式1：点P为△ABC所在平面内一点，且满足 = + ，则S△APB∶S△APC等于______。

设计意图：强化平面向量基本定理的几何属性，加深对向量数与形两方面特征的理解。

变式2：在△ABC中，已知 · =9，sinB=cosA·sinC，S△ABC=6，且P为线段AB上的点，且 =x +y ，则xy的最大值为__________。

设计意图：平面向量基本定理 =x +y 中若 ⊥ ，且 ， 为单位向量，此时x，y具有坐标的内涵。

变式3：已知O是△ABC内心，若 = + ，则cos∠BAC________。

设计意图：进一步深入理解基本定理，当 =x +y 且x+y=1时，A，B，C具有共线特征。适当调节系数，可以构造三点共线简化问题的解决。 = + = = （ ）+ = （ ）+ ，其中D为AB中点。

高考数学命题重视核心数学知识，强调重要的数学思想和方法，要求考生不但要知其然，更要知其所以然；通过引例的分析使学生知道问题本质，从而以不变应万变；通过变式题组，引导学生遇到问题回归基本概念，基本方法。

二、核心概念教学及提高课堂教学效率的几点思考

1. 研读校本，研究概念

要让学生轻松而高效地学习，除了不搞题海战术，更要正本清源，不论是新授课还是复习课都需要对基本概念、基本定理和核心知识中所包含的数学思想方法给予足够的重视。然而当下许多教师对概念解读不到位，流于表面，导致讲不透的现象屡见不鲜。如在圆锥曲线中弦长公式的讲解，讲弦长必是直线与圆锥曲线交于两点A，B，则AB= ，久而久之学生碰到如直线与圆锥曲线交于两点，但却要解决AP（P直线与x或y的交点）相关问题，只能束手无策。 事实上，设直线l：y=kx+b上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）则

AB= = x1-x2

或AB= y1-y2

这个公式本质是两点间距离公式，不妨称为直线上两点距离。只要是处理直线上两点的距离问题都可用此公式，那么当学生再次碰到形如2011年浙江省填空题17题或焦半经相关问题时，将不会束手无策或者因为方法不好导致计算量太大而无功而返或者抱怨没学好焦半经公式而后悔懊恼。

2. 合理设计，层层推进

教师在教学过程中要精心设计问题，鼓励和引导学生去自主探索、动手实践等等学习方式，充分发挥学生学习的主观能动性，使学生的学习过程变为在教师引导下的“再创造”过程。

教师理解再透彻如果没有好的教学设计，只能让学生有“老师好厉害，这个证明真神……”等感叹。波利亚曾说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入完整的理论领域。”这说明了例题选取的重要性。典型的例题能反映高中数学的核心概念和思想方法，能进行知识间的内在联系，能以点带面可以通过类比联想的方式迁移发散。因此要构建高效课堂，使学生跳出题海，就必须精选例题，用尽量少的例题将考纲要求的知识、方法和思想呈现给学生。

3. 放慢脚步，把课堂真正还给学生

高三复习时间紧任务重，有的教师为了追求教学内容的完整性，课堂教学犹如行云流水，一气呵成；在一些难点问题上，教师“舍不得”在课堂上花时间探究，以自己的经验代替学生的思考；在一些大运算量问题前总以“同学们课后自己算下”的方式处理；这種脱离“以生为本”的教学方式，只能使学生的思维发展停滞不前，打击学生的学习积极性和学习信心。这种动脑思考和动手实践的过程性的缺失，是课后再多练习也无法弥补的。如解析几何中的计算，在问题解决思路清晰后，再复杂的计算也要留给学生自己处理，有目的地在课堂安排大运算量的训练，能促进学生运算规划意识、提高综合运算能力，更能磨炼学生意志等人格品质。这也是学科素养培养的有效途径。

高中数学新课标指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造过程。”总之，让学生及时体验到复习中的成功和快乐，在复习中不仅学会知识，而且学会学习，才能使数学复习课堂教学收到最大效益。

参考文献：

[1] 展国培.核心概念后续教学的聚焦点：联系、方法、思想[J].中学数学教学参考，2016（11）.

[2] 孙 卫.重视核心知识点的探究，提升高三专题复习深度[J].中学数学研究，2013（1）.

（作者单位：浙江省泰顺中学 325500）