“根的判别式”：无处不在又神通广大——以一节高中自招考试专题复习课为例

☉江苏省江阴市第一初级中学 张炜钰

近几年，初中阶段数学竞赛因为种种原因没有得到应有的研究和关注，取而代之的是，各地优质高中的自主招生考试对数学的考查往往都是竞赛级别的内容.本文是最近开设的一节高中自招考试专题复习课的选题与预设，整理出来，供研讨.

一、“根的判别式”专题拓展复习

例1已知关于x的方程x2+2nx+n2-3n+2=0有两个实数根x1与x2.

（1）求n的取值范围.

（2）小程经过演算发现：代数式x1x2+5n的值不可能小于4.请判断小程的发现是否正确，并说明理由.

预设讲评：（1）计算关于x的方程的根的判别式，得Δ=b2-4ac=（2n）2-4（n2-3n+2）≥0，可得n≥.

（2）先观察代数式x1x2+5n的特点，可利用韦达定理将两根之积转化为含n的式子，x1x2=n2-3n+2，代入x1x2+5n并整理得n2-3n+2+5n=n2+2n+2，将其视作关于n的二次函数y=n2+2n+2，改写为顶点式y=（n+1）2+1.所以n＞-1时，y随n的增大而增大，则结合（1）中已得结论n≥，可分析出当n=时，y取得最小值.对比小程发现的最小值4＞，说明小程的发现是错误的.

例2（1）已知非零实数a、b、c满足4a+2b+c=0，求证b2-4ac≥0.

（2）已知非零实数a、b、c满足9a-6b+2c=0，求证b2-2ac≥0.

预设讲评：（1）观察等式4a+2b+c=0，结合非零实数a、b、c，联想到关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，当x=2时，满足该方程，即x=2是该方程的一个根，可知该一元二次方程一定有实数根，故b2-4ac≥0.

（2）观察等式9a-6b+2c=0，结合非零实数a、b、c，可适当变形改写为a（-3）2+2b（-3）+2c=0，这样就可继续运用上一问的处理思路，视x=-3是关于x的一元二次方程ax2+2bx+2c=0的一个根，该方程根的判别式一定是非负数，即（2b）2-4a（2c）≥0，化简得b2-2ac≥0.

例3已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上方的一点P（m，n）.求证：抛物线与x轴必有两个不同的交点.

预设讲评：先画出图1进行观察，容易发现待证的结论“显而易见”，然而怎么证明呢？

由P（m，n）在x轴上方，可得n＞0.把P点的坐标代入抛物线的解析式y=ax2+bx+c，得n=am2+bm+c，整理成关于m的一元二次方程am2+bm+c-n=0，该方程根的判别式一定为非负数，即b2-4a（c-n）≥0，变形为b2-4ac≥-4an.由抛物线开口向下，得a＜0.又n＞0，则-4an＞0，于是b2-4ac＞0，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定有两个不同的交点.

同类跟进：已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=-bx，其中a、b、c满足a＞b＞c，且a+b+c=0.求证：这两个函数的图像有两个不同的交点.

预设讲评：先明确解题目标，待证结论的关键是：两个函数的解析式联立后得到关于x的一元二次方程ax2+2bx+c=0，其根的判别式为正数，即需要证Δ=4b2-4ac＞0.由a+b+c=0，得b=-a-c，则Δ=4（-a-c）2-4ac=4a2+8ac+4c2-4ac=4a2+4ac+4c2=（4a2+4ac+c2）+3c2=（2a+c）2+3c2.结合a≠0，则Δ＞0.

例4求证：若实数a、b满足a2+2b2-a+2ab+1=0，则代数式a-b+2019是定值.

预设讲评：待分析的代数式是否为定值，关键取决于a、b.需要认真观察等式a2+2b2-a+2ab+1=0，将其两边同时乘以2，得2a2+4b2-2a+4ab+2=0，配方得（a2+4ab+4b2）+（a2-2a+2）=0，即（a+2b）2+（a-）2=0，则a=，b=.代数式a-b+2019是定值2020.

另解介绍：（主元思想，基于一元二次方程根的判别式的角度）将等式a2+2b2-a+2ab+1=0看成关于b的一元二次方程，整理得2b2+2ab+（a2-a+1）=0.该方程一定有两个实数根，则根的判别式（2a）2-8（a2-a+1）≥0，化简为-（a-）2≥0，只有当a=时成立，相应的b=.

顺便指出，上面的“另解”是基于以b为主元的一元二次方程而思考的，也可以基于以a为主元的一元二次方程，思路是一致的，这里略去.

例5对于正数x，分式的最大值如何分析？

预设讲评：分式最值的分析初中阶段没有系统研究，高中阶段将会有不同的处理方法.这里设法转化为一元二次方程，利用根的判别式分析.设，视x为主元，整理得关于x的一元二次方程kx2+（2k-1）x+k=0.

由Δ=（2k-1）2-4k2≥0，解得最大值为.

拓展链接：如图2，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC、AD的延长线交于点P，求AB·S△ABP的最小值.

图2

预设讲评：设DP=x.由勾股定理可得PC=.易得△PCD △PAB，则，视x为主元，整理成关于x的一元二次方程x2+2（1-k）x+1+2k=0.由Δ=4（1-k）2-4（1+2k）≥0，得k≥4或k≤0（含去），故AB·S△ABP的最小值为4.

二、相关思考

1.高中自主招考复习研究值得关注

当前各地优质高中在中考之前就以“火箭班”“创新实验班”“推荐生”“国际班”等名目组织自主招生考试，参加考试的学生为招生辖区的各个初中的优秀学生.客观地说，这些参加考试的学生即使不参加这类自主招考，只根据中考成绩基本也能进入相应高中就读，对学生所在初中来说，对升学率几无影响，所以初中学校基本不组织集中培训和应对，加上初中因为均衡分班的原因，优秀学生都均衡分布在各个班级，客观上也无法进行有针对性的辅导.这样来看，如何有针对性地开展高中自主招考复习应对，仍然是一个值得关注的教研领域.

2.围绕专题精选例、习题进行讲评与拓展

与近年来《中学数学（初中版）》刊发的很多中考微专题复习课例一样，自主招考复习研究也可借鉴微专题复习的备课与选题思路.比如，上面专题关注的“根的判别式”，所选的习题主要难点或关键步骤都要体现根的判别式的“无处不在”与“神通广大”，这样学生在研习这些问题时就可感受“题”中“形异质同”.另外，在设计成课例时，不同习题的排序、组合也要精心预设，以上文课例中的几个题例的排序与关联来看，遵循了如下原则：一是由浅及深，渐次推进；二是加强同类链接与变式拓展.