过程教育下“平方根”教学的实践性解读

☉浙江省宁波市海曙区古林镇中学 邬云德

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）根据数学具有过程和结果的二重性特征倡导统筹兼顾过程与结果，以全面发挥数学的育人功能.但在以浙教版《数学》七年级上册3.1“平方根”为载体的研修活动中发现，课堂教学普遍存在过程教育不到位的问题，导致不能促进学生发展数学核心素养.究其原因，主要是教师缺乏教研的意识与方法，导致确定的教学方案与过程教育思想存在偏差.鉴于此，笔者在重复观摩与反思的基础上，对该课的教学进行解读，以使教师感悟改变当前“只教不研”现象的必要性.

一、精致化分析

1.该课的研究内容及其地位与作用

该课研究的对象是“已知x2=a（a是已知数）求x的运算”，它是在学习乘方运算的基础上，为解决形如“已知x2=a（a是已知数）求x”的需要提出来的.其研究内容主要有：开平方、平方根和算术平方根的概念；平方根和算术平方根的符号表示；求具体数的平方根和算术平方根；平方根和算术平方根的有关事实.其逻辑关系如图1所示.“已知x2=a（a是已知数）求x的运算”有丰富的现实情景，用根号表示平方根和算术平方根在实数运算中会经常遇到，求数的平方根和算术平方根是需要学生掌握的基本技能，一般到一般或特殊到特殊的研究方法在教学实践中会经常用到.

图1

2.该课的认知过程和所蕴含的教育价值

该课的数学本质是求数的平方根，其他知识都是由它衍生出来的，教学时要遵循“先过程（开平方运算），后结果（平方根）”和“先一般（平方根），后特殊（算术平方根）”的认知顺序.“已知x2=a（a是已知数），求x”可以看成是从实际问题中抽象出来的，也可以看成是从“已知底数和指数2求幂”中演绎出来的，还可以看成是从具体的“（？）2=4”等中归纳出来的.但采用演绎方式更能促使学生感悟平方与开平方是互逆运算.平方根概念的形式特征比较明显，能从外形上直接观察和识别，并且教学要求不高，但学生对方程根的认识还没有达到一定的“深度”，而开平方与平方运算是互逆运算，所以定义平方根宜采用抽象形式.由于求数的平方根的运算是平方运算的逆运算，所以可用平方运算求数的平方根.平方根有关事实的教学性质是原理教学，它要遵循数学原理对应的认知过程观，但这些事实相对比较简单，不必经历原理教学完整的认知过程，可在求数的平方根之后，引导学生通过归纳猜想得到.实践告诉我们，用演绎方式产生“已知x2=a，求x”的过程和所蕴含的从运算角度提出问题的经验，用抽象形式定义开平方和平方根的过程和所蕴含的演绎思想、符号表示思想，解释平方根概念的过程和所蕴含的从数学概念中可以分解出判定和性质两个命题的经验，用平方运算求数的平方根的过程和所蕴含的演绎思想、化归思想、间接运算的经验，求数的平方根之后反思的过程和所蕴含的归纳思想及数学活动经验等，这些对发展学生的智力、能力和个性有积极的影响.

3.该课学生的认知基础和可能会遇到的认知障碍

尽管学生有从运算角度提出问题的经验，但从“底数指数=幂”中提出“已知x2=a，求x”，估计部分学生有难度；尽管学生学过许多数学概念，但从两个方面去理解概念的本质特征，大部分学生无先前经验；尽管学生有逆运算的经历与经验，但学生还没有养成这种间接运算的习惯，估计部分学生不能自然地用平方运算求数的平方根；尽管学生有合情推理的经历与经验，但归纳猜想平方根的有关事实可能对部分学生来说有一定困难.

二、选择性决策

1.该课的教学目标

根据上述分析结果，并用课标、教材、学生三把筛子进行筛选，该课的教学目标可以设置为：经历回顾旧知与提出问题的过程，能从运算角度提出“已知x2=a，求x”，能感悟研究开平方运算的意义；参与定义开平方和平方根的活动，能陈述开平方和平方根的概念，能知道开平方与平方是互逆运算，会用根号表示数的平方根和算术平方根，能感悟符号表示思想；参与求数的平方根的活动，会用平方运算求数的平方根，能知道平方根的有关事实，能感悟演绎思想和归纳思想，并在学习过程中有个性化的表现.

2.该课的教学重点与难点

根据该课概念的地位与作用，以及所蕴含的教育价值，其教学重点是平方根的概念和求数的平方根.因为用根号表示平方根的式子在实数运算中会经常遇到，求数的平方根是学生需要掌握的基本技能.其教学难点是平方根的概念.因为从两个方面去理解平方根概念的本质特征学生无先前经验，并且±具有双重性含义比较抽象，许多学生不能自然地把±转化为“（？）2=a”.

3.该课的教学结构

根据抽象形式定义概念的认知过程观，该课教学结构可用图2表示.

图2

这是一个以数学知识发生、发展过程为载体的学生认知过程和以学生为主体的数学活动过程.这个简单、自然、动态、和谐的教学结构，能使学生经历完整的数学思考过程，对促进学生认知与情感的变化与发展有积极的影响.

三、针对性设计

环节1：经历回顾旧知与提出问题的过程——明确研究问题

首先，教师指出：我们知道，52=25，它是已知底数和指数求幂的运算.在“底数指数=幂”中，还能提出怎样的运算？

其次，教师解释：事实上，许多实际问题可以转化为这些运算.例如，要做一个面积为25cm2的正方形模型，它的边长应取多少？这个问题可以转化为已知幂和指数求底数的运算.

最后，揭示课题：既然这些运算有丰富的现实情景，就有研究这些运算的必要.已知x2=a（a是已知数），怎样求x？本节课我们先来研究与之相关的问题.

分析：提出问题是概念教学不可忽视的一个环节，它旨在激发学生的学习兴趣和感悟研究的必要性.该课知识的生长点是平方运算.这个经历性数学活动的内容，不仅包括平方运算，还包括从“底数指数=幂”中演绎出“已知x2=a（a是已知数），求x”的过程和所蕴含的演绎思想及研究开平方运算的意义.教学采用了教师价值引导下的学生自主体验的方法.它建立了新知识和旧知识之间的内在联系，能使学生感悟研究对象从哪里来和往何处去.

环节2：参与定义平方根的活动——形成平方根的概念

第一，教师直接给出定义：一个数的平方等于a（a是已知数），求这个数的运算，叫作开平方，这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根.即：如果x2=a，那么求x的运算叫作开平方，x叫作a的平方根.

第二，教师解释：开平方与平方是互逆运算.根据平方根概念可得：若x2=a，则x是a的平方根；若x是a的平方根，则x2=a.并举例说明.

第三，教师介绍平方根的符号表示，并提出算术平方根概念及其符号表示：数学上把正数a的平方根记作±.其中a叫作被开方数，±读作正、负根号a；表示正数a的正平方根（读作根号a）；-表示正数a的负平方根（读作负根号a）.一个正数a的正平方根也叫作算术平方根，0的算术平方根是0，这样一个数a（a≥0）的算术平方根可以记作.并举例说明.

分析：尽管平方根概念的教学要求是“了解”，但用根号表示平方根和算术平方根的式子在实数运算中会经常遇到，它需要学生知道用根号表示平方根和算术平方根的式子的含义.这个参与性数学活动的内容，不仅包括开平方、平方根、算术平方根的概念，平方根和算术平方根的符号表示，还包括开平方与平方是互逆运算，从数学概念中可以分解出判定和性质两个命题的经验，用根号表示平方根式子的含义，（2=a和具有双重非负性.教学采用了教师价值引导下的学生自主体验的方法.它揭示了平方根概念的本质特征，暗示了求数的平方根的方法，能使学生知道有双重性含义和双重非负性.

环节3：参与求数的平方根的活动——求具体数的平方根

首先，教师指出：由于开平方与平方是互逆运算，所以我们可用平方运算来求数的平方根，并示范求9的平方根的过程.

其次，教师要求学生模仿样例求下列各数的平方根：

在求上述各数的平方根之后，教师要求学生写出上述各数的算术平方根分别是什么，猜一猜关于数的平方根有什么结论.

再次，教师要求学生先说出下列各式的意义，再计算.

最后，要求学生完成课本中的练习题，待学生完成任务后进行交互反馈与评价.

分析：用平方运算求数的平方根是整节课认知过程的后半段，求数的平方根是该课的教学重点，是学生需要掌握的基本技能，“（）2=a”和“=|a|”在后继学习中会经常用到.这个参与性数学活动的内容，不仅包括求数的平方根，还包括求数的平方根的过程和所蕴含的演绎思想，平方根的有关事实，以及获得平方根有关事实的过程和所蕴含的归纳思想.教学采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的先“放”后“收”的适度开放的方法.它能促使学生养成用平方运算间接求平方根的习惯，增强计算之后反思的意识，感悟计算过程中所蕴含的演绎思想和获得平方根有关事实过程中所蕴含的归纳思想等.

环节4：参与回顾与思考的活动——欣赏研究内容与研究方法

首先，教师出示下列问题清单，并要求学生围绕问题清单进行回顾与思考.

（1）本节课研究了哪些内容？

（2）“已知x2=a，求x”是从哪里来的？为何学习求数的平方根？

（3）我们是用什么方法来求数的平方根的？

（4）大家在学习过程中有何感触？

其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师边倾听、边评价.

最后，教师总结该课的研究内容与研究方法，并指出以后可用计算器来求一个数的平方根（或其近似值）.

分析：课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在欣赏研究内容与研究方法，感悟研究过程和所蕴含的数学思想及积淀求数的平方根的经验.这个参与式数学活动的内容，不仅包括回顾研究内容与研究方法，还包括交流学生学习后的感悟.教学采用了问题清单引导下的学生独立回顾与思考基础上的交互反馈和交互反馈基础上的教师总结性讲解的方法.它有助于学生深化认识，产生个性化的想法，并对学生增强反思意识，发展语言表达能力，以及养成敢想、敢说、敢于创新的良好习惯有积极的影响.

参与研修的教师普遍认为该课的教学解读，能促进教师发展实践性智慧，能促使教师感悟改变当前“只教不研”现象的必要性.因此，一般地，生成高立意教学方案要经历“精致化分析→选择性决策→针对性设计→反思性审核”的过程.精致化分析主要是：理解数学——研究的对象、涉及的数学结果及其地位与作用；理解教学——涉及数学结果的教学性质及其认知过程和所蕴含的教育价值；理解学生——学生的认知基础和可能会遇到的认知障碍.选择性决策主要是：先用课标、教材、学生三把筛子对分析的结果进行过滤，再确定其全面、和谐的教学目标；根据数学结果的地位与作用和所蕴含的教育价值确定教学重点，根据数学结果的抽象程度和学生的实际确定教学难点；根据涉及数学结果的逻辑结构和所蕴含的数学思想方法结构，确定易于学生接受的教学顺序结构.针对性设计就是将选择性决策中形成的教学思想转化为具体的教学行为——根据确定的教学结构和数学结果的类型有针对性地设计教学；根据数学结果的特点、教学目标和学生实际，选择教学的载体与方法.反思性审核就是审查：精致化分析是否全面，选择性决策是否合理，针对性设计是否合适.若教师能改变当前“只教不研”的现象，并能遵循上述教学设计的基本规范，则定能剖解当前过程教育不到位的疑难问题.