中考微专题教学：由浅及深与同类跟进——以抛物线“内接三角形”问题为例

☉江苏省海安市海陵中学 李海凤

二次函数的图像是抛物线，各地中考以抛物线为背景，结合其“内接三角形”进行探究的习题丰富多彩，本文关注抛物线结合其“内接特殊三角形”与一元二次方程之间的对应关系（即“形数对应”），为了便于教学研究，我们以习题教学的形式构思了一节中考微专题教学课例，现梳理出来，分享给大家.

一、抛物线“内接三角形”习题课例概述

例1如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

（2）当△ABC是直角三角形时，求证：ac=-1.

教学预设：（1）令y=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根）对应着B、A两点的横坐标.于是

图1

（2）由△ABC是直角三角形，可证△AOC △COB，把对应边的比例式转化为乘积式，得OC2=OA·OB.接下来“从形到数”，把它们对应的“坐标”代入乘积式，得c2=，化简可得ac=-1.

教学时注意引导学生体会数形对应、数形互助的数学思想方法.可以使用如下的板书设计帮助学生理解这里的数形对应.

跟进练习：已知二次函数y=3x2+bx+c的图像与坐标轴分别交于A、B、C三点，若△ABC是直角三角形，则c的值为______.

解题预设：根据例1（2）中的结论“当△ABC是直角三角形时，ac=-1”，可直接写出3c=-1，解得c=-.

例2平面直角坐标系xOy中，顶点为C的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点.

（1）若△ABC为直角三角形，求证：b2-4ac=4；

（2）若△ABC为等边三角形，求证：b2-4ac=12；

（3）若△ABC中∠ACB=120°，求证：b2-4ac=.

教学预设：根据题干信息，有如下一些准备工作.画出图2进行分析（设a＞0，抛物线开口向上），结合抛物线的对称性质可确认△ABC一定是等腰三角形，且CA=CB.接着抛物线y=ax2+bx+c与x轴（即直线y=0）交于A、B两点.则点A、B的横坐标对应着关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，可算出AB的长为.表示出抛物线的顶点C的坐标作CH⊥AB交x轴于H，则等腰三角形ABC底边上的高CH就是

图2

（1）若△ABC为直角三角形，则△ABC为等腰直角三角形，则AB=2CH，则，变形得b2-4ac=4.

讲评提醒：贯通思路之后，可以与例1中提醒学生数形对应的板书一样，给出相应的板书（略）.

拓展预设：因为x轴就是直线y=0，还可将x轴一般化为直线y=n，有如下更一般的情形与性质.

走向一般：如图3，平面直角坐标系xOy中，顶点为C的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n交于A、B两点.抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n联立得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0.若△ABC为直角三角形，是否有b2-4a（c-n）=4？

简证：关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0的两根为，可算出AB的长为.表示出抛物线的顶点C的坐标），如图3，作CH⊥AB交直线AB于H，则等腰三角形ABC底边上的高CH就是

图3

若△ABC为直角三角形，则△ABC为等腰直角三角形，则AB=2CH，则，变形得b2-4a（c-n）=4，仍然满足一元二次方程ax2+bx+c-n=0的Δ=4.

类似的，仍然可证得：若△ABC为等边三角形，有b2-4a（c-n）=12；若△ABC中∠ACB=120°，有b2-4a（cn）=.

跟进练习：（1）二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2-4ac=4，则∠ACB的度数为（ ）.

A.30° B.45° C.60° D.90°

（2）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图像与x轴有两个交点A、B，顶点为C.若△ABC恰好是等边三角形，求代数式b2-2（2a-3）的值.

预设解答：根据例2，对于（1），可直接看出∠ACB为90°；对于第（2）问，稍加包装，把代数式b2-2（2a-3）展开整理得b2-4a+6，再对照二次函数表达式中常数项c=1，将待求式子转化为b2-4ac+6，结合△ABC恰好是等边三角形，可得b2-4ac=12，于是代数式b2-2（2a-3）的值为18.

二、教学思考

1.加强同类收集，是数学解题研究的一种追求

教师的解题研究不能满足于解一题丢一题，而要注意收集、关联同类习题，并及时整理存档，重视个人教学素材库的建设.笔者的一般做法是，在电脑上有相应的文件夹，想好同类题的主题命名文件夹，比如，本文关注的主题可命名为“主题关注 抛物线与内接三角形 形数对应”，这样日后检索资料时可以根据不同的关键词很快查找到，而且后续有类似的素材更新时，也可继续添加到相应主题的文件夹中.

2.重视解后回顾，让解题研题服务于习题教学

解后回顾对于师生的解题都是十分必要的，是加深理解、增强记忆的好方法.特别是教师解后回顾，不但要想清问题的结构与本质，还可从服务习题教学的角度进行思考，问题还有哪些可能的变式？已有性质的发现能否进行推广？上文例2的教学拓展，就是这方面的一个重要应用.习题课教学中，注重变式，善于引导学生“走向一般”思考问题的习惯，不但对一道习题的理解更加深刻，达到解一题、会一类的效果，更重要的是向学生传递了数学的特点，比如数学的抽象思想、一般化及模型思考.

3.构思板书设计，使习题教学难点得到化解

习题课教学也需要经营板书，而不是杂乱无章的解题步骤，而且除了解题步骤的构思、排版，对于关键步骤、重要的转化策略、解题难点，还需要有另外的板书构思，这也是教学艺术的体现.在上文例1、例2思路讲解之后，我们分别给出两处体现“形数对应”的板书设计，通过不同标注、箭头示意等形象的方式呈现出来，根据教学观察，多数学生在记录课堂笔记时，对老师这种精心设计、形象的板书细节，都能“完好”地记录在他们的听课笔记上，也对他们理解难点起到很好的帮助作用.