探究式复习：提升数学核心素养的有效方法*

☉内江师范学院数学与信息科学学院 李红霞

☉四 川 省 资 中 二 中 刘之兵

复习教学是很重要的教学工作，包括专题复习、章末复习、期中复习、期末复习、中考复习等.如何组织学生复习，如何通过复习提升学生的数学核心素养，这是老师们非常关心的问题.常态化的复习教学是，让学生反复做以前做过的题目.人们把常态化的复习教学戏称为“老歌重唱”，这对数学核心素养的提升并非有利.事实上，技能训练应当适当地反复练习，但数学核心素养的提升仅靠反复练习是远远不够的，必须把数学核心素养的培养植根于思维训练（培养）和数学探究活动之中.因此，为提升学生的数学核心素养，提高数学复习教学质量，我们提出“探究式复习”.探究式复习指把数学探究教学的理念和方法用于复习课之中.也就是说，用数学探究的方式进行复习教学.探究式复习是在夯实数学“双基”的前提下，精选富含数学思维价值的典型问题，通过对典型问题进行多角度地审视与探究，使学生能够获得有序化、层次化和系统化地解决问题的经验，通过生成式的探究教学，达到使学生巩固“双基”、感悟思想、获得经验的目的.

一、探究式复习教学设计策略

好的教学设计对于一节课的教学效果是基础性的、本质性的，探究式复习教学设计更是如此，需要以数学探究的教学理念作为支撑，需要对教材内容的娴熟把握和具备熟练的教学设计技能，更需要科学的设计策略.

1.选好题目

选择好的数学问题是探究式复习的基础工程，什么是好的数学问题呢？“类比教科书中的公理、定理、性质和判定，至少应当满足以下几个条件：（1）基础性，就是它与学生学习的知识紧密联系，能为学生的后继学习起到良好的奠基作用；（2）简洁性，这也应当是很重要的一条，具有简单、和谐、统一特征的结论，给人以美感，容易被人接受，当然也容易记忆；（3）应用性，就数学内部而言，用它能解决较多的相关问题，就数学外部而言，能解决一些实际问题或运用到其他学科”［1］.

另外，作为探究式复习教学的问题，应当满足以下几点：（1）题目具有生长空间，也就是问题本身是数学知识聚集的一个结构模块，具有广泛的联系性；（2）题目涉及的知识和解决能力相对于学生的认知基础和思维水平来说比较适中，具有教学的可能性和良好的育人价值.

2.系统思考

对选定的题目一定要做系统的思考.“系统是处在一定相互联系中、与环境发生关系的各个组成部分的整体，组成系统的各个单元、因子、部分，即为要素.视一道数学题为系统时，组成这道题的各个部分就是要素”［2］.因此系统地思考一道数学题应从以下几方面入手.（1）分析、挖掘题目的组成要素.数学是研究数量关系和空间形式的学科，分析、挖掘题目中的数量及关系、几何量及关系是分析题目的基本要素.我们在教学中经常发现一些学生没有分析、挖掘题目中要素的意识，更缺乏这方面的能力.（2）分析题目要素的结构组织形式.要素之间的结构组织形式联系着相关的数学概念和原理（公理、定理、法则、运算律等），从而实现着各自的功能.（3）分析要素的多元表征.一是对概念进行多元表征.这种概念处在知识的交叉点上，能联系不同的知识域，从而调动不同知识域的观念、思想方法解决问题.二是对信息对象进行意义赋予.如已知数赋予未知数（字母）的意义，赋予字母取值的意义；字母赋予变量的意义；代数式赋予几何的意义；代数式赋予方程、函数的意义；静止几何对象赋予动态的意义；线段的长赋予坐标系中两点间距离的意义（到高中赋予向量模、复数模的意义）等.（4）对题目的解答进行深入分析.一是进行“一题多解、一题多探、一题多联”分析，这就是探索题目的生长空间，这是发散式的思维方式.二是进行“多题归一”分析，寻找不同解法、不同联系的共性，这是聚合式的思维方式.

3.问题设计

一道数学题要衍生为一堂课，对题目进行系统思考只是教学素材的积累，必须依据本节课的教学目标、学生的认知水平和思维特点对教学内容进行取舍.主要做两个方面的工作.一是问题分拆与组织.由于题目的组成要素与数学其他要素的结构组织形式的固有特点的不同，会形成不同的数学问题，再按照这些问题与学生已有数学认知结构的关联程度排列成难度由低到高的顺序.这样我们就由一道数学题实现了由一到多、由无序到有序地组织教学内容.

这里很重要的工作是创设有价值的问题情境.有了有层级的数学教学内容，我们还需要设计一些具有教学组织价值的问题将离散的数学问题串联起来.这就是有价值的问题情境.它是指能激发学生的学习兴趣，调动学生积极主动地参与到探究数学知识的活动中来，在活动的过程中发现、掌握、理解数学知识的问题系列，其核心是引导学生通过问题系列深入数学学科的本质，超越对技巧性问题的过度追求，克服对数学概念表面理解的现象，其标志是具有启发性、趣味性、适时适度适量和发展性.

4.重视预设与生成

在课堂教学中，虽然教学内容是事先确定的，但教学是生成的.教学关系形成于师生两主体之间，依赖于二者而存在……主体的特质并非全部参与并通过教学关系暴露出来，不论是教师还是学生，都还有着内隐的内容未予外显［3］.因此，作为非对称关系的两主体之一的教师，就担当着对当下课堂教学呈现的内容的教学价值确定，潜在价值的内容现实化的引领和激发的责任.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流.这就要求教师按照课程标准要求，深挖数学本质，采取有效措施，发挥主导作用，这里的教师主导是外在的，内在的是学生已有知识水平与教学要求之间的矛盾，规定着教学的可能性质与进程.

5.收放有度

在实际的探究式复习教学中容易出现的问题是：对教学内容的数学本质挖掘不够，导致课堂上同样的问题反复出现，浪费时间，或学生触及数学问题本质而教师不自知；教学内容处理随意性强，偏离教学目标，导致问题太难课堂无法继续，或无价值问题占用课堂时间；教学手段与教学内容适切性欠缺等，导致教学效率不高，形成人为教学难点.

二、探究式复习教学设计案例

下面以2017年遵义市中考数学第18题为案例，设计了一节探究式复习课.

课题：一道中考填空题的探究——以2017年遵义市中考数学第18题为例.

课型：复习课.

教学目标：

（1）以反比例函数图像上的点的几何意义为基础，经历改变动点位置提出问题，观察、推理分析问题，反思、改进追究问题，探究直线与双曲线相交模型中的面积关系、平行关系和等线段关系等.

（2）在探究直线与双曲线相交模型过程中，达到复习面积计算、函数、平行四边形、矩形、全等三角形、相似三角形等知识的目的，能类比探究过程中的方法完成变式图形中相关结论的证明，能运用探究到的相关结论解决相关问题.

（3）通过探究式复习，体验知识之间的广泛联系，感受探究的快乐，进一步激发学习兴趣.

教学问题诊断分析：

（1）如图4，当动点P从双曲线上移动到双曲线外侧，探寻新矩形的面积与k的关系时，可能会出现割补法和比例计算法.

如果学生用割补法，需要过点A作AH⊥x轴于H，引导学生观察矩形PMON与矩形AMOH的特点，得到矩形PMON的面积是矩形AMOH面积的倍.

（2）在图5中，证明AE=BF时，有三种思路，一是利用三角形全等；二是利用三角形相似；三是利用平行四边形.

由于每个学生的认知基础和思维特点不一样，我们要有耐心让学生表达不同想法，引导学生优化思维，得到优美的解答.

（3）点P移动到双曲线内侧，图形变化会很大，情况较多.

在学生尝试画出至少一种图形后，我们用几何画板探究随着点P位置的改变，图形的变化情况，从而归纳为位置具有代表性的图形.

教学支持条件分析：

本节课教学适用于初中三年级完成相似三角形教学后或初三复习，由于已经学习一次函数、反比例函数（特别是反比例函数图像上的点的几何意义）、三角形全等、平行四边形、三角形相似等知识，这些为这节课的教学提供了知识、方法基础.根据本节课的教学内容和学生的特点，课上黑板和几何画板结合使用，这样既能展示整个探究过程，将重点在黑板上凸显、留存，又能节省课堂时间，提高教学效率.

教学过程设计：

1.考题观察，引发思考

观察下列题目，你的解答思路是什么？

设计说明：首先呈现这道题达到聚集学生的注意力，引发思考的作用.而题目有一定难度，不是一下子就可以解决的，从而形成一种心理期待，即这个问题该如何解决呢？从而提出本节课要探究的问题：探究直线与双曲线相交模型.

2.回顾反思，提出问题

图1

（1）如图2，k=-2，S矩形PDOC=______；

（2）如图3，S矩形PDOC=______.

图2

图3

设计说明：把反比例函数图像上的点的几何意义作为探究的起点，学生熟悉，容易进入状态.

3.积极思考，探究问题

（1）在图3中，移动点P到反比例函数的图像在第一象限的外侧位置.

矩形PMON系呢？如果能，请写出来，并证明.

设计说明：将静止的点P“化静为动”提出新问题，向学生示范了如何在没问题的地方提出问题，润物细无声地渗透创新思维.当学生得出·k后，引导学生对称地思考，直接得出·k，在这个过程中，学生会体验到思维的快乐.

（2）续探1.

设计说明：由于学生通过相似三角形的学习对比例式已经比较熟悉，当得出·k后，必将引发学生思考进一步可推出什么，这就有效地激活了学生原有的认知结构中相似三角形、平行线等知识，加强了不同知识板块的联系.

图4

图5

（3）续探2.

设计说明：AB∥MN表明的是AB与MN的位置关系，通过上面的问题引发学生从考虑位置关系转向考虑相关线段数量关系或其他的图形关系.事实上，学生能从图5中观察到AE=BF，▱BEMN或▱AMNF，△AME

△APB △FBN等，这个时候，教师向学生明确：请证明AE=BF，你有哪些方法？与同伴交流.这就起到了“放得开，收得拢”的作用.

（4）在图5中，将点P移到反比例函数的图像内侧各象限位置.

下面我们用几何画板探究随着点P位置的改变，图形的变化情况，看一看你是否画对了.

如图6、7，PM⊥y轴于点M，交反比例函数的图像于点A，PN⊥x轴于点N，交反比例函数的图像于点B，直线AB交y轴于点E，交x轴于点F.结论：k，MN∥AB，AE=BF还成立吗？请同学们课后探究.

图6

图7

设计说明：通过前面点P在双曲线上和在双曲线外侧的探究，学生很自然地会想：点P在双曲线内侧又会怎么样呢？学生就会带着一种期待和激情去画点P在双曲线内侧的情形，再一次将学生的思维“放开”.再通过教师几何画板的演示，又将学生的思维“收拢”，最终归结为典型位置的代表图形.

（4）举例运用，享受成功.

利用本节课探究的结论示例解答开课展示的2017年遵义市中考数学第18题.

过程略.

设计说明：直线与双曲线相交模型中的BE=AF，结论简单，形式优美，便于记忆，利用它解决问题起到了化繁为简的作用.当然，如有时间，也可引导学生引入参数再求出点F的坐标表达式，从而求出直线EF的函数关系式，得出点A的坐标表达式，再求△EOF的面积，通过对比，体会融会贯通不同板块的数学知识的重要性.

（5）反思小结，畅谈收获.

通过这节课的学习，你都有哪些体会？

一个模型：直线与曲线相交.

两种探究：纵向探究和位置变换探究.

五种思想：分类思想、转化思想、函数思想、数形结合思想、推理思想.

五类知识：面积、函数、特殊四边形、全等三角形、相似三角形.

设计说明：在学生充分思考、交流后，引导学生从上述四个方面总结本节课的收获.

三、探究式复习教学反思

本教学设计在一次市级数学年会上进行了教学实践，得到了与会老师的高度认可，这也引发了我们的积极反思.

1.探究式复习教学应成为复习教学的一种重要课型

众所周知，复习的主要目的是应对考试，过去的考试更多的是知识立意，随着新课程改革的不断深化，考试更加重视“核心素养立意”，并体现人文情怀.这又与当下在教学中如何落实发展学生核心素养是一致的.《普通高中数学课程标准（征求意见稿）》指出：“数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐渐形成的.数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力.高中阶段数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体.”这些数学核心素养共同支撑的是“实事求是，理性分析，不畏困难，敢于、善于发现问题、分析和解决问题”的精神品质.在考试中就演化为考查学生的应变（创新）能力和实践、操作能力.因此题海战术式的复习培养的是做题机器，而不是善于思维的人才.探究式复习教学能有效训练和发展学生的数学核心素养，它应当成为复习教学的一种重要课型.

2.开展教师间合作，形成探究式复习教学资源

实施探究式复习教学并不容易，除了教师要有扎实的教学基本功，还需要教师间的相互合作，更需要备课组的介入.做好以下几方面的工作具有明显的现实意义：一是以学期为单位，结合已有的经验筛选具有实施探究式复习教学价值的问题；二是将这些问题定为教学研讨的课题，分配给本组教师；三是要求授课教师认真细致地备课，及在组内磨课；四是进行教学实践检验；五是总结反思，形成探究式复习教学资源.