解决圆与其他知识点融合类题目的策略

黄海涛

一、借助圆内接四边形的外角、同弧所对的圆周角，可以将已知角转化为其他的等角，利用直径所对的圆周角、垂径定理构造直角三角形，是解决综合三角函数类题目的常用方法

例1（2018·江苏无锡）如图1，四边形ABCD 内接于圆 O，AB=17，CD=10，∠A=90°，，求AD的长.

图1

【解析】考点：圆内接四边形、三角函数.四边形ABCD为圆内接四边形，容易得到∠A=∠C=90°.如何把放在直角三角形中是解决问题的关键.结合四边形ABCD为圆内接四边形，∠A=90°，容易想到构造圆内接四边形的外角，将∠B放到直角三角形中.

【解答】解：如图2，延长AD，BC交于点E.

图2

∵四边形ABCD为圆内接四边形，

∴∠A=∠DCB=90°，∠B=∠EDC.

∴在直角三角形EAB中，

在直角三角形ECD中，

【点评】对于圆结合三角函数类问题，应重点关注如何把已知的具体大小的角放入直角三角形中.

二、结合题目中的已知线段，利用同弧所对的圆周角、连接半径形成的等腰三角形、圆内接四边形的外角等知识，发掘相似三角形，是解决圆与相似有关问题的实用技巧

例2（2018·四川成都）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.

图3

（1）求证：BC是⊙O的切线.

（2）设AB=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长.

【解析】考点：圆、相似三角形.

（1）因为点D在圆上，因此，要证明圆的切线，只需连接半径，证垂直即可.

（2）线段AB在△ABD和△ABC中，而线段AF不在直角三角形中，因此找△ABD的相似三角形是解决问题的关键.结合上一问得到的结论∠BAD=∠CAD，容易想到证明△ABD∽△ADF，此时只需证明∠ADF=∠B即可，要证∠ADF=∠B，只要用弧AF所对的圆周角∠AEF过渡一下，而连接EF后发现∠EFA=90°，易得EF‖AC，问题得到解决.

【解答】证明：（1）如图4，连接OD.

图4

∵AD为∠BAC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD.

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠CAD，∴OD‖AC，

又∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，

∴BC是⊙O的切线.

解：（2）连接DF，EF.

∵AE是直径，∴∠EFA=90°，

又∵∠C=90°，∴EF‖BC.

∴∠AEF=∠B，

∵在⊙O中，∠AEF与∠ADF对应的弧相同，∴∠AEF=∠ADF，

∴∠ADF=∠B，

又∵∠BAD=∠CAD，

∴△ABD∽△ADF，

【点评】圆中线段间的数量关系如不涉及具体数值的计算，利用相似发掘乘积关系是常用方法，根据具体线段找相似三角形是比较有效的技巧.

三、对于圆中和弦长有关的计算问题，借助垂径定理，作弦心距，连半径，构造直角三角形，用勾股定理解决线段的长度问题，是圆综合勾股定理类题目的主要解题策略

例3（2018·江苏南京）如图5，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为

图5

【解析】考点：圆、勾股定理.如图6，点E是⊙O的切点，连接OE，得到垂径，而弦长问题往往又需要用垂径定理来解决，OE垂直于A′B′，A′B′‖CD′正好巧妙地构造了用勾股定理处理弦长问题所需的直角三角形，连接EO并延长交CF于点H，问题得解.

【解答】解：连接EO并延长交CF于点H.

图6

∵A′B′与⊙O相切于点E，

∴OE⊥A′B′，

又∵A′B′‖CD′，∴OH⊥CD′，

∴CH=HF.

【点评】解决此类弦长问题的切入点就是利用垂径定理构造直角三角形.而如果先作了垂直，连接了OE，是比较容易发现E、O、H三点共线的.虽然对于同学们而言证明三点共线不常见，但连好线后再仔细分析题目中的矩形对边平行条件，是不难得到连接EO并延长这个辅助线作法的.

四、解决圆与方程、函数等知识点融合的综合题时，用圆中半径相等、直角三角形的勾股定理建立数量间的等量关系，是解决问题的必要途径

例4（2018·山东滨州）如图7，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B.

图7

（1）当x=2时，求⊙P的半径.

（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图像的形状，并在图8中画出此函数的图像.

图8

（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图像进行定义：此函数图像可以看成是到_______的距离等于到_______的距离的所有点的集合.

（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与（2）中所得函数图像相交于点C，D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图8，求cos∠APD的大小.

【解析】考点：圆、勾股定理、二次函数.

（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为⊙P的半径.

（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图像即可.

（3）类比圆的定义描述此函数定义即可.

（4）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可.

【解答】解：（1）如图9，由x=2，得到P（2，y），连接AP，PB.

图9

∵圆P与x轴相切，

∴PB⊥x轴，即PB=y，

（2）同（1），由AP=PB，

得到（x-1）2+（y-2）2=y2，

即y关于x的函数图像为开口向上的抛物线，画出函数图像，如图10所示；

图10

（3）给（2）中所得函数图像进行定义：此函数图像可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合.故答案为：点A；x轴.

（4）如图11，连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F.

图11

【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式、二次函数的图像与性质、圆的性质、勾股定理，用勾股定理建立x，y的等量关系是解本题的关键.

在解决与圆有关的综合题时，除了要熟悉圆的基本概念、基本图形，更应该抓住圆中的一些隐含条件，如“同弧所对的圆周角相等”“半径相等”等，注意知识点间的整合，渗透转化的思想、数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想以及变化中的不变量等观点，提高综合运用知识的能力.