电力系统线性化动态最优潮流模型

赵静波, 卫志农, 刘建坤, 张清松, 王大江

(1. 国网江苏省电力有限公司电力科学研究院, 江苏省南京市211103; 2. 河海大学能源与电气学院, 江苏省南京市 211100)

0 引言

最优潮流(optimal power flow,OPF)作为保证电力系统安全、经济运行最主要的手段,近年来受到国内外学者的广泛关注[1-3]。然而,传统静态OPF只考虑单个时间断面,所有变量均为静态变量,忽略了实际系统中不同时段间变量的调整以及各变量在不同时段间的耦合,具有一定的应用局限性[4-6]。基于此,文献[7]提出动态最优潮流(dynamic optimal power flow,DOPF)的概念,综合考虑了各个时段内的静态约束和时段间的动态约束,通过对整个调度周期的整体协调优化,有效保证了电力系统在整个调度周期内的安全性、稳定性和经济性,相较静态OPF具有更广泛的应用范围[8-9]。

但由于动态约束的引入,DOPF的求解规模和难度相较静态OPF都大大增加,因此,近年来许多学者都致力于对DOPF的求解算法进行深入探究。文献[10]利用近似最小度算法对传统内点法进行改进,提出一种常系数海森矩阵内点法,用于求解微电网动态最优潮流问题。文献[11]针对复杂交直流互联系统的日前经济调度问题,基于Benders分解法提出了主、子问题并行高效迭代的求解算法。文献[12]考虑了实际运行中风电功率的不确定性和相关性,将非线性动态随机最优潮流模型转化为二阶锥规划模型,并采用改进三点估计法对模型进行求解。上述文献通过改进DOPF的求解算法,一定程度上提高了DOPF问题的求解效率,但由于DOPF模型本身非凸、非线性的特性,当系统规模增大时,仍会出现维数灾和收敛问题[13-14]。因此,也有学者从模型出发,通过对模型进行线性化处理,以减小模型的求解难度,从而提高计算效率。

直流DOPF是目前求解效率最高的线性化模型[15],但由于其忽略了线路损耗的影响,无法满足DOPF对计算精度的要求。文献[16]通过引入网损等值电阻的形式对支路损耗进行等效,进而对直流模型进行相应改进,有效提高了直流模型的计算精度,但该模型仍忽略了无功功率和电压幅值的影响,具有一定的局限性。文献[17]和文献[18]对不同阻抗比下的功率平衡方程进行拟合,分别提出一种可求解电压幅值的线性化潮流模型,但2种模型都在一定程度上弱化了线路两端的电压幅值差异,因此在进行DOPF计算时,无功调度信息的误差较大。

基于此,本文一方面从模型出发,通过解耦、代换和热启动这3个步骤将静态OPF模型线性化,然后将其进行断面拓展,应用到DOPF计算中,从而提出一种新型线性化动态最优潮流(linear dynamic optimal power flow,LDOPF)模型。另一方面,从算法出发,采用简化原对偶内点法对模型进行求解,并在迭代过程中对热启动所需基准点进行更新,在提高求解效率的同时进一步提高模型计算精度。

1 动态最优潮流模型

电力系统DOPF问题是多时段的非线性规划问题,相比传统的单一断面的静态OPF,其标准数学模型可以归纳成以下形式[19]:

(1)

(2)

1.1 目标函数

目前,电力系统DOPF的目标函数主要有2种,一种是常用于有功优化的以系统发电成本最小为优化目标;另一种则是常用于无功优化的以系统网损最小为优化目标[8]。两种形式的目标函数如下。

1)系统发电成本

(3)

式中:PGi,t为发电机i在时段t的有功出力;a2i,a1i,a0i为发电机i耗量特征曲线参数;ng为接入系统的发电机数。

2)系统网络损耗

(4)

式中:PDi,t为节点i在时段t的有功负荷;nb为系统节点数;Δt=1 h,为时段间隔。

1.2 等式约束

DOPF的等式约束ht(xt)与OPF基本一致,即满足各时段内所有节点的功率平衡,如下所示:

ΔPi,t=PGi,t-PDi,t-

(5)

ΔQi,t=QGi,t-QDi,t-

(6)

式中:QGi,t为发电机i在时段t的无功出力;ΔPi,t和ΔQi,t分别为潮流计算中节点i在时段t的有功、无功功率不平衡量;QDi,t为节点i在时段t的无功负荷;Vi,t为节点i在时段t的电压相量的幅值;Gij和Bij分别为节点导纳矩阵第i行第j列元素的实部和虚部;θij,t为时段t线路两端节点i和节点j的相角差。

1.3 不等式约束

DOPF的不等式约束主要由静态约束和动态约束两部分组成。

1) 静态不等式约束

静态不等式约束主要包括各时段发电机的有功、无功出力约束,节点电压幅值、相角约束和线路传输功率约束,如下所示:

PGi,min≤PGi,t≤PGi,maxi=1,2,,ng

(7)

QGi,min≤QGi,t≤QGi,maxi=1,2,,ng

(8)

Vi,min≤Vi,t≤Vi,maxi=1,2,,nb

(9)

θi,min≤θi,t≤θi,maxi=1,2,,nb

(10)

Pij,max

(11)

式中:PGi,min和PGi,max分别为有功电源所发出有功功率的下限、上限;QGi,min和QGi,max分别为无功电源所发无功功率的下限、上限;Vi,min和Vi,max分别为节点电压幅值的下限、上限;θi,min和θi,max分别为节点i的电压相角的下限、上限;Pij,max为线路i-j的有功传输功率限制值。

2)动态不等式约束

目前动态不等式约束主要包括发电机爬坡约束和发电合同约束,由于目前国内电力市场尚未完善,因此本文主要考虑发电机爬坡约束,如下所示:

PGi,t-PGi,t-1≤Rup,iΔtt=2,3,,T

(12)

PGi,t-1-PGi,t≤Rdown,iΔtt=2,3,,T

(13)

式中:Rup,i和Rdown,i分别为发电机i最大向上增出力速率和最大向下减出力速率。

2 线性化模型的建立

2.1 静态单断面线性化模型

本文提出的线性化模型则在保留线性化模型高效性的基础上,弥补了直流模型的上述不足,其处理思路主要分为解耦、代换和热启动这3个部分,本节首先在静态单断面对其原理进行详细介绍。需要说明的是,本节中所采用的变量均是相应动态变量在静态单断面上对应的变量,因此,下标t省略。

1)解耦

首先将节点功率平衡方程进行等价变换,得到公式如下所示:

(14)

(15)

2)代换

设i和j为线路l的首、末节点,忽略节点对地导纳,则线路两端的潮流公式如下所示:

(16)

式中:Pjl和Qjl分别为线路l末端的有功、无功功率流;gij和bij分别为线路l的电导、电纳,且其和导纳矩阵中对应元素的代数关系为gij=-Gij和bij=-Bij。

在电力系统直流潮流计算中,根据实际电网情况,线路两端的相关参数可以进行以下近似:Vi≈Vj≈1.0(标幺值),sinθij≈θij,cosθij≈1。由于直流模型是基于上述3个假设进行全局简化,因此计算精度相对较低,且无法求解电压幅值和无功功率。本文借鉴直流模型的思路,假设式(16)中的正弦分量如下所示:

ViVjsinθij≈θij=θi-θj

(17)

线路有功、无功损耗可以用以下公式表示:

(18)

若将式(16)代入式(18),则可得到:

(19)

对式(19)分别进行变形可得式(20),再将式(20)代入式(16)中得到Pil和Qil如式(21)所示。

(20)

(21)

(22)

式中:rij和xij分别为线路l的电阻和电抗,i和j分别为线路l的首、末端点。

3)热启动

所谓热启动,是指采用电力系统日内调度的前一断面的历史数据或者现行断面的潮流数据作为初值。本文模型需要依赖于某一断面数据,因此属于热启动范畴,这将使得模型精度与断面选取息息相关,而这在实际电力系统中是很容易实现的,故可以从调度系统获得当前断面的实时数据作为初始值,从而为下一断面的DOPF计算提供支持。

本文基于热启动环境,可以进行简单潮流计算或者直接从调度系统中获取当前断面的电压值Vi,0和线路功率流值Pil,0和Qil,0,采用泰勒级数展开的方法,然后取其一阶项,并忽略截断误差,进而可将代换过程中残存的非线性项进行如下线性化处理:

(23)

Pl,loss=Pl,0，loss+

(24)

Ql,loss=Ql,0，loss+

(25)

式中:Pl,0，loss和Ql,0，loss分别为直接获取的或根据当前断面潮流数据计算出的线路有功、无功损耗初值。

在计算过程中,节点电压与线路传输功率在每次迭代后进行更新,进而每次迭代计算中式(23)—式(25)均采用更新后的电压幅值与线路传输功率值,理论上进一步提高了计算精度。最后将式(23)—式(25)分别代入式(21),并将等式等号右侧涉及Pil和Qil的项移到左侧进行合并,然后归一化,可得到:

(26)

(27)

式中:m1,m2,,m16,mPl,mQl,mPloss,mQloss为进行变换处理后的系数。

将式(26)和式(27)代入式(14)和式(15),便得到了线性化的节点功率平衡方程的等价方程。相比直流模型,该模型计及了电压幅值、网损以及无功功率,同时计算过程中节点电压幅值与线路传输功率不断迭代更新,与直流模型相比,理论上有更高的精度且更具现实应用意义。

2.2 动态线性化模型

本文将新型线性化模型运用到DOPF模型中,并建立LDOPF模型。其中,LDOPF模型的目标函数不作调整,仍是式(3)和(4)。其等式约束被解耦成线路功率流和线路损耗流两部分,相比DOPF模型变动较大,如下所示:

(28)

(29)

式中:Pil,t,Pl,t，loss,Qil,t,Ql,t，loss分别为在2.1节对应静态变量的基础上拓展到多时段后对应的变量,相关推导和简化原理同2.1节。

式(7)—式(11)是DOPF的不等式约束,其中式(11)是非线性线路潮流约束,其他都为线性约束,无须处理。基于2.1节的线性化处理思想,式(11)可以转化为:

|Pil,t|≤Pij,max

(30)

2.3 简化原—对偶内点法

为了提高计算效率,本文采用简化内点法[19]进行求解,其对不等式约束进行转化,将不等式约束改写为:

(31)

该方法通过将标准非线性规划模型的双边不等式约束处理成单边不等式约束,形成只含有上限的广义不等式约束,从而减少下限对应的拉格朗日乘子和松弛因子的引入,提高了计算效率。

3 算例分析

本节首先对IEEE 30节点、IEEE 118节点、IEEE 300节点以及某市117节点等值系统分别进行基于直流模型的DOPF计算和基于本文模型的LDOPF计算,并将有功优化、无功优化的计算结果分别与基于交流模型的DOPF结果进行宏观上的目标函数精度比较,比较结果如表1所示。

表1 基于不同DOPF模型的有功和无功优化计算结果比较Table 1 Comparison of active and reactive power optimization results based on different DOPF models

为便于分析,本文将交流DOPF有功、无功优化的结果作为基准值,记为yres,AC,直流DOPF的计算结果记为yres,DC,LDOPF的计算结果记为yres,L,则直流DOPF与交流DOPF同种优化类型的相对误差Δyres可由下式计算得出:

(32)

LDOPF与交流DOPF计算结果的相对误差计算方式与式(32)类似。

由表1可见,直流DOPF的目标函数计算结果已经具备较高的计算精度,目标函数的计算误差基本保持在4%以内,相比直流模型,本文提出的LDOPF的目标函数计算精度则得到进一步提高,目标函数相对误差基本保持在2%以内。IEEE标准系统中的LDOPF的无功优化结果相对误差接近5%,实际系统的相对误差接近7%。厂网分离以后,从电网角度出发,有功优化的应用意义逐渐减弱,降低网损逐渐成为电网优化调度的首要考虑目标。由于本文模型计及网损,因此可以进行无功优化快速近似计算,从功能角度上有效地弥补了目前应用最广泛的直流模型的不足,发展前景更加广泛。

表2主要给出了基于不同模型的DOPF有功优化和无功优化的运行性能比较情况。

表2 基于不同DOPF模型的有功、无功优化性能比较Table 2 Comparison of active and reactive power optimization performance based on different DOPF models

从表2可见,由于经过大量简化,相比交流DOPF,直流DOPF的迭代次数和计算时间大大减少,体现了线性化模型良好的收敛性和高效性,但是直流模型采用的是全局简化的思路,除了计算精度较低以外,最主要的是忽略了电压幅值和无功功率这2个对于电力系统安全、稳定控制极其重要的电气量,其存在应用瓶颈。本文提出的LDOPF主要采用的是等价代换的方法,并且只进行了部分简化就对模型进行了线性化处理,模型的迭代次数和计算时间虽然相比直流DOPF有了一定的增加,但是相比交流DOPF依然具有较大的时间优势,且线性化所带来的计算效率优势会随着系统规模的扩大更加凸显。

除了目标函数计算精度比直流DOPF高以外,LDOPF模型甚至可以计算电压幅值和无功功率,从而可以在实现电力系统快速调度计算的同时对于电网的电压和无功功率进行监控,并对电压稳定裕度等稳定性指标进行快速估算。以IEEE 30节点系统为例,图1给出了LDOPF模型有功优化的电压幅值与交流DOPF结果的偏差曲线。可以看出,由于DOPF数学模型的强大约束能力,使得所选时段内电压的幅值都在0.95～1.05(标幺值)的约束范围内,满足电力系统安全性和稳定性要求;此外,LDOPF的电压幅值变化曲线与交流DOPF的对应曲线宏观上基本吻合,从潮流层面体现了本文所建模型的正确性以及较高的计算精度。

图2给出了LDOPF模型有功优化的电压相角与交流DOPF结果的偏差曲线。首先经过前期计算发现,由于IEEE 30节点系统规模较小,其各节点电压相角变化较小,因此本文首先将IEEE 30节点系统的相角的变化范围约束在-8°～8°。从图2中可以看出,LDOPF模型各时段所有的电压相角都在约束范围内,说明了本文模型的简化并没有削弱优化模型对于变量的约束能力;此外,LDOPF的电压相角变化曲线与交流DOPF的对应曲线基本吻合,进一步验证了LDOPF模型的精确性。

图1 基于LDOPF有功优化得到的IEEE 30节点 系统电压幅值偏差曲线Fig.1 Voltage amplitude deviation curve of IEEE 30-node system by LDOPF based on active power optimization

图2 基于LDOPF有功优化得到的IEEE 30节点 系统电压相角偏差曲线Fig.2 Voltage phase-angle deviation curve of IEEE 30-node system by LDOPF based on active power optimization

为了进一步突出本文提出的LDOPF模型在不同时段、不同负荷条件下计算的稳定性,本文还以IEEE 30节点系统为例,对LDOPF模型8个典型时段的电压幅值、电压相角与交流DOPF计算结果的偏差极值、偏差均值情况进行展示。由于厂网分离以后,调度员更加关注无功优化的结果,因此本文仅展示无功优化所得结果,如表3所示。有功优化结果见附录A表A1。

表3 基于LDOPF无功优化得到的各时段电压幅值、 相角偏差极值情况(IEEE 30节点系统)Table 3 Extreme situation of voltage amplitude and phase-angle deviation in each period by LDOPF based on reactive power optimization (IEEE 30-node system)

从表3可以看出,无论是负荷高峰还是负荷低谷时段,IEEE 30节点系统在1个调度周期内24个时段的电压幅值、相角的偏差极值、偏差均值都比较接近,电压幅值偏差极值都能够保持在0.025(标幺值)以内,相角偏差极值在1.8°以内,幅值偏差均值保持在0.01(标幺值)左右,相角偏差均值保持在0.7°左右。这4个量体现了本文模型的稳定性,其计算精度不受负荷和潮流变化影响。附录A表A1中的LDOPF有功优化的电压、相角偏差结果所得结论与无功优化结论一致。

综合以上分析,本文所建的LDOPF模型在目标函数、潮流分布、运行性能等多方面都具有较好的特性,在电力系统线性化计算领域的综合能力胜于传统直流模型,具有较好的应用前景。

4 结语

本文通过对传统交流最优潮流模型的解耦、代换推导和热启动处理,建立了新型线性化动态最优潮流模型。算例测试结果表明,本文所述模型在保留线性化模型求解效率高的特征的同时,有效弥补了直流模型无法计算电压幅值和无功功率的不足,可获取完备的潮流信息,具有良好的适应性和在线应用能力。未来将对造成系统无功误差的原因进行深入探究,进一步提高无功优化的计算精度。

附录见本刊网络版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。