对一道竞赛题答案的质疑与探究

广东省佛山市乐从中学 (邮编：528315)

题目(2018年全国高中数学联赛安徽预赛第11题)

x2+2y2+3z2≥k(xy+yz+zx).

试证明你的结论.

问题(1)比较简单，在此略去.

对于问题(2)，网上传出标准答案，摘录如下：

下面给出问题(2)的两种解法.

解法一

实际上，设f(k)=k3+6k2-24(k≥0),则f′(k)=3k2+12k≥0,所以f(k)在(0,+∞)上递增，且有f(0)=-24<0,由零点定理可知f(k)=k3+6k2-24=0在(0,+∞)必有一个正根.

解法二已知嵌入不等式：若A+B+C=π,则对于任意的实数x、y、z,都有：x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.于是

所以满足

解答之余，自然想到：符合条件的k值不但存在，而且有无数个，如1.75,1.751,…,利用数学软件Geogebra，画出函数f(k)=k3+6k2-24(k≥0)的图象，可知函数的零点约为1.75877,那么符合条件的k值中，有没有最大值？若有，最大值是多少？

经探究，符合条件的k值中是有最大值的，最大值的求解如下：