基于应用能力培养的《微分方程》教学设计

摘要： 微分方程在电类专业课中应用非常广泛，利用有限的课时提高课堂学习效果很关键。本文通过总结建立微分方程的基本手段和方法，分类精选微分方程的应用案例，使学生掌握建立微分方程模型的方法，然后通过Matlab软件进行求解，提高了学生的学习兴趣，提升了学生的应用能力。

关键词： 高职院校 ;微分方程;應用能力

中图分类号： G642.0 文献标识码： A

引言

微分方程可以解决自然科学、工程技术、社会科学等许多实际问题，特别在电类专业课中应用广泛。由于求解微分方程会涉及到导数和积分的知识，同时微分方程的应用会用到许多几何、物理等知识，高职院校的学生学习起来往往感到很困难。在教学中采用分类、案例驱动等方法，激发了学生的学习兴趣，提高学生应用微分方程知识解决实际问题的能力。

一、微分方程建模的基本思路

凡涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、“运动”、“追赶”、“逃跑”……的确定性连续问题，可以考虑用微分方程建模。微分方程建模的基本手段是微元法和模拟近似法。 微分方程建模的基本原则是（1）寻找改变量 一般微分方程问题都遵循这样的文字等式（2）变化率（微商）=单位增加量-单位减少量（3）改变量=输入量-输出量（4）等式通常是利用已有的原则或定律（5）对问题中的特征进行数学刻画（6）用微元法建立微分方程（7）确定微分方程定解条件（初始条件） （8）求解或讨论方程（数值解或定性理论

二、微分方程教学案例

（一）创设实验背景 导入课题

【提出问题】如导弹跟踪、醉驾行驶、电路分析等问题，配以醉驾造成危害的背景和图片，引导学生以饱满的热情参与到课堂，以激发学生的学习兴趣。

【醉驾模型】现有一起交通事故，在事故发生3个小时后，测得司机血液中酒精含量是56%（mg/ml），又过两个小时后，测得其酒精含量降为40%（mg/ml），试判断：事故发生时，司机是否为醉驾？（设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为超过80%（mg/ml）为醉驾）

【解决问题】

第一建立模型，让学生以小组的形式，通过探究，用学过的知识建模，然后老师根据学生的完成情况给予点评，再给出正确的模型。用已经通过平衡原理建立了微分方程模型，dxdt=-kx，x（3）=56，x（5）=40，x（0）=x0，我们可以借助于MATLAB解决这个问题。

通过案例引入， 以问题为导向，一方面巩固了已经学习的建模方法和思想，另一方面培养了学生的建模能力，从而培养学生用数学知识解决实际问题的意识与能力，提高了学生的学习兴趣。

这个微分方程模型用人工求解十分麻烦，复杂的问题求解必须借助计算机来解决我们生活中的问题，MATLAB 不仅是数学应用软件，更是工程软件，它的功能强大，利用Matlab编写程序简洁、直观，用MATLAB就很容易求解这个模型。

（三）师生合作 共探新知——用MATLAB求解微分方程

以表格的形式，先介绍解微分方程的基本操作命令，输入格式和含义，并对其含义予以解释，如dsolve的含义，使学生容易记住。强调容易出错的地方：单双引号的区分，乘号的书写，换行等。

选择的例子由浅入深，使学生的能力逐步得提高。

（1）简单例子

例1 MATLAB求解微分方程

xy′=y2lnx-y，y（1）-1/2的特解;

【课堂练习】求微分方程的特解y″-8y′+7y=14，y（0）=5，y′（0）=9

（2）专业例子

根据数学课程的定位，数学教学应加强专业针对性，根据专业设置相应的教学内容，即数学与专业融合，为专业服务，同时也可以提高学生的学习兴趣。

例2 专业基础课《电工电子》中的【电路问题】 一个RL串联回路中有电源3sin2t（单位：伏），电阻10欧姆，电阻0.5亨利和初始电流6安培，求求任何时刻t电路中的电流。

说明本次内容与后续课程的联系 在以后的专业课中也会遇到大量的微分方程求解的例子。比如，在电路分析中，随着电路规模的加大，微分方程的阶数以及联立方程的个数势必增多，给求解带来困难。另外工厂供电冲击电流的计算等等。利用MATLAB的M 文件来求解电路方程，只需一个或几个语句即可完成。

（3）综合例子

其目的是强调了主要数学思想方法的突出作用，渗透建模思想方法，巩固技能，理论与实践相结合，学以致用，培养学生综合应用知识，解决实际问题的能力。

【醉驾问题】先让学生在电脑上操作，然后老师示范。让学生在学中做、做中学，体现教学合一的原则。实验过程：（1）建立模型（2）编写程序（3）程序的实现（4）对实验结果的分析。

（1）模型dxdt=-kx，x（3）=56，x（5）=50，求X0.

（2）程序及运行结果

>> x=dsolve（′Dx=-k*x′，′x（0）=x0′，′t′）

x =x0*exp（-k*t）

>> syms x0 k ;

[x0 k] =solve（′x0*exp（-3*k）=56′，′x0*exp（-5*k）=40′）

k =[-log（1/7*35^（1/2））]

x0=[392/25*35^（1/2）]

x0=92.76>80

本教学设计以案例展开，以问题为导向，帮助学生掌握用MATLAB求解微分方程，注重学生能力的培养和思维的训练，考核由重知识、重结果的考核变为重能力和过程的考核，使软件成为我们解决问题的一种工具。使学生体验了由感性分析到理性分析的过程，体会到了微分方程设计在解决实际问题中的应用，从而培养了学生的应用能力。

参考文献

[1]王晶囡，王剑飞，孟桂芝，罗来珍，华秀英. 微分方程案例驱动模式教学研究与实践[J]. 高 师 理 科 学 刊， 2018 年（4 ）：67-69.

[2]刘学才，周文. 应用数学基础 [M]. 化学工业出版社，2015（8）

[3]周文. 微分方程的应用教学探索[J]. 考试周刊，2010（12）

作者简介： 周文（1967- ），女，汉族，湖北省孝感人，教授，研究方向是数学应用与数学建模。