浅谈函数思想在高中数学中的应用

安春霖

【摘 要】函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.

【关键词】函数思想；一元二次函数；数学模型

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的. 函数思想主要有：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；（3）选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系。下面我们结合几个具体的例子来看看函数思想在高中数学中的具体应用。

例1.已知 ，（ 、 、 ），则有（ ）

A. B. C. D.

【点 拨】解法一通过化简，敏锐地抓住了数与式的特点： 看作是方程 的一个实根，再利用一元二次方程有根的充要条件 求得；解法二转化为 是 、 的函数，运用重要不等式解题.

【解答过程】解法一：依题设有

∴ 是实系数一元二次方程 的一个实根；∴

∴ 故选B.

解法二：去分母，移项，两边平方得：

∴ 故选B.

【易错点】不能合理地转化为 是 、 的函数或构造 来解题。

例2.已知 ，若关于 的方程 有实根，则 的取值范围 .

【点拨】求参数 的范围，可以先将 分离出来，表示为 的函数，求出函数的值域，进而得到参数 的范围。

【解答过程】方程即 ，

即

当 时， 变为 ，故 无解

当 时， 变为 ，故

当 时， 变为 ，故 无解

总之， 的取值范围是

例3.已知函数 .

（1）求函数 的单调区间和极值；

（2）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时， ；

（3）如果 ，且 ，证明 .

【点拨】（1）利用导数，列出表格，求函数的单调性与极值；（2）首先根据对称性求出 的解析式，再构造函数 ，转化为只需利用单调性证明 ；（3）首先判断 的范围，再利用前两问的结论单调性，要证 ，只需证

【解答过程】（1）解： ，令 ，解得

当 变化时， ， 的变化情况如下表：

1

+ 0 -

极大值

所以 在 内是增函数，在 内是减函数。

函数 在 处取得极大值 。

（2）证明：由题意可知 ，得

令 ，即 于是

当 时， ，从而 ，由 ， ，从而函数 在 是增函数。

又 ，所以 时，有 ，即 .

（3）证明：1）若 ，由（1）及 ，则 与 矛盾。

2）若 由（1）及 ，则 与 矛盾。

根据1），2）得 ，不妨设

由（Ⅱ）可知， ，则 ，所以 ，从而 .因为 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函数 在区间 内是增函数，所以 ，即 。

【易错点】（1）在运用导数的四则运算法则求导数时容易出错；（2）在构造函数 上存在问题；（3）在做第3问时，不知道合理利用前2问的结论。

例4.已知双曲线以两条坐标轴为对称轴，焦点在y轴上。它的实轴长为2sinq（ ≤q≤ ），又这双曲线上任意一点P（x，y）到定点M（1，0）的最短距离为 ，求该双曲线离心率的取值范围。

【点 拨】双曲线方程可设为 =1，解题的首要环节是以点P的坐标为变量建立|PM|的函数表达式，并用b，sinq表示其最小值，尔后由题设可建立b和sinq之间的关系式，把离心率e表示成b或sinq的函数，研究它的取值范围。

【解题过程】设双曲线方程为 =1。

|PM|2=（x-1）2+y2=（x-1）2+sin2q（1+ ）=（1+ ）x2-2x+1+sin2q

∵ x∈R，∴ |PM|2的最小值为1+sin2q- ，因此1+sin2q- = ，即b2= . 由b2>0，及 ≤q≤ ，得

函数思想作为中学数学的主线，其思想的高瞻性、应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性确定了它在高考数学试卷中函数的比重仍然很大，不仅会出现有关函数性质巧妙組合的小题，而且会出现融入各方面知识的函数的压轴题，考查学生推理、论证的能力，以适合高校选拔人才的需要。

函数思想是对问题建立函数模型，并利用函数概念和性质解决问题的重要方法。函数思想是高中数学中的一种重要思想方法，有意识地渗透函数思想，有助于提高学生的思维品质，有助于培养学生的数学建模能力，为进入大学进一步学习高等数学打好基础。通过以上几个例题说明了函数思想在高中数学解题中的广泛应用，表明了在高中数学学习中渗透函数思想的重要性。

（作者单位：沁阳市第一中学高三（5）班）