廖雷 胡婷
摘要:分块矩阵是一种特殊矩阵,在矩阵的运算中起着简化降级的作用。本文先介绍分块矩阵的性质,再归纳分块矩阵在高等代数中的普遍应用。
关键词:分块矩阵;简化降级;高等代数
在高等代数里,矩阵是必不可缺的内容,也是研究代数问题的重要工具。为了方便探究与运用更广泛的矩阵的特性,我们想到把一个阶数较大的矩阵分割成若干个子块,再把每一块子块看成一个元素,从而引出分块矩阵。本文的理论框架为通过研究分块矩阵的性质,一步一步的总结出分块矩阵在计算和证明这两方面的应用。
一、分块矩阵
(一)分块矩阵的定义
设A∈F(m×n)对A用横线划分成t块,用竖线划分成块,就得到一个s×t的分块矩阵
其中,小矩阵Aij(i=1,…s;j=1,…t)叫做的一个字块,这类矩阵叫作分块矩阵。
(二)分块矩阵的性质
性质 1 令方阵由下述分块矩阵构成
其中A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3都是s×t矩形,又M任一s级方阵
对于矩阵,则|B|=|M||A|
性质 2 令方阵由下面形式的分块矩阵构成
A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3都是s×t矩形,又M任一s级方阵
,则|D|=|A|
二、分块矩阵的应用
(一)分块矩阵与矩阵的秩
定理3.1.1秩(AB)≤秩(A),秩(AB)≤秩(B),则秩(AB)≤min{秩(A),秩(B)}。
定理3.1.2 A、B都是n阶矩阵,若AB=0,则秩(A)+秩(B)≤n。
例:矩阵A、B是n阶矩阵,证:(AB+A+B)≤秩(A)+秩(B)。
证明:
即
其中都是可逆矩阵,所以
况且
得证:(AB+A+B)≤秩(A)+秩(B)
(二)分块矩阵与矩阵求逆
定理3.3.1 令矩阵是一个四分块的方阵,其中矩阵A为r阶方阵,矩阵D为k方阵,当A与(D-CA-1B)都是可逆矩阵时,则矩阵Q是可逆矩阵,
且
(1)矩阵B=O,矩阵C=O,矩阵A与D都可逆时,
Q-1=;
(2)矩阵B≠O,矩阵C=O,矩阵A与D都可逆时,
Q-1=;
(3)矩阵C≠O,矩阵B=O,矩阵A与D都可逆时,
Q-1=。
例:
解:令
由矩阵求逆可得
即可知
由定理3.3.1得出
作者簡介:
廖雷(1994年—),男,汉族,四川成都人,硕士,成都理工大学管理科学学院,研究方向:地震资料降噪处理。