一道课本习题的变式探究

陈志睿

变式是通过变换同类事物的非本质特征的表现形式，在变式中思考，从而掌握事物的本质和规律。从变中体会不变、理解本质、发现规律。通过举一反三，达到对所学知识的融会贯通，优化认知结构，提高学习效率，并从中体会数学的魅力和学习的乐趣。下面就探究一下习题的变式及应用：

经过椭圆 +y =1的左焦点F 作倾斜角为60 的直线与椭圆相交于A，B两点，求AB的长。

1.变式

（1）变式一：经过椭圆 +y =1的左焦F 点任作一直线与椭圆相交于A，B两点，求AB长的最大值与最小值。

解：当AB的斜率不存在时，求AB= 。当AB的斜率存在时，设斜率为k，将AB的方程y=k（x+1）代入椭 +y =1消去y得：（1+2k ）x +4k x+2k -2=0，设A（x ，y ），B（x ，y ），则△=8（k +1）。故AB= = = 。

设t=1+2k ，则AB= = （1+ ），因t≥1，故

综上所述：当直线AB垂直x轴时，AB长最小，最小值为 ；当直线AB与x轴重合时，AB长最大，最大值为2 。

（2）变式二：经过椭圆 +y =1的左焦点F 作直线与椭圆交于A，B两点，设O为坐标原点，求三角形ABO面积的最大值。

解：依题意可知，AB的斜率不为0，故设其方程为x=my-1，代入椭圆方程得：（2+m ）y -2my-1=0，A（x ，y ），B（x ，y ），△=8m +8，则：三角形ABO的面积= OF y -y = = ，设t=2+m ，则：三角形S = = = ，当且仅当t=2， 即直线AB垂直x轴时，三角形ABO的面积最大，最大值为 。

2.结论

（1）两点A（x ，y ），B（x ，y ）间的距离公式有以下推广形式：

若直线AB斜率存在，其方程为y=kx+n，则：AB= x -x ；AB= （A，B在同一条圆锥曲线上， 其中ω是二次项系数）。若直线AB的斜率不为0，其方程为x=my+n，则：AB= y -y （A，B两点不在同一条圆锥曲线上）；AB= （A，B在同一条圆锥曲线上，其中ω是二次项系数）。

（2）过定点（n，0）且斜率不为0的动直线方程设为x=my+n，可避免讨论并简化计算；椭圆 + =1的焦点弦长的最小值为 ，最大值为2a。

3.应用

（1）已知抛物线x =y。点A（- ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（-

解：（Ⅰ）AP斜率的取值范围是（-1，1）（略）。

（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程

kx-y+ k+ =0，

x+ky- k- =0，解得點Q的横坐标是

x = ，则|PA|= （x+ ）= （kx+1）

|PQ|= （x -x）=

=- ，

所以|PA|·|PQ|=-（k-1）（k+1） ，令f（x）=-（k-1）（k+1） ，因为f（k）=-（4k-2）（k+1） ，所以f（k）在区间（-1， ）上单调递增，（ ，1）上单调递减，因此当k= 时，|PA|·|PQ|取得最大值 。

（2）设圆x +y +2x-15=0的圆心为A，直线L过点B（1，0）且与x轴不重合，L交圆A于C，D两点，过B作AC的平行直线交AD于点E。

（I）证明EA+EB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C ，直线L交C 于M，N两点，过B且与L垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。

解：（I） + =1（略）；

（II）设直线L的方程为x=my+1，代入C 的方程消去x得：（3m +4）y +6my-9=0，设，M（x ，y ）N（x ，y ），