探究课本习题升华数学素养

秦小龙

摘要：数学教育的目的是提高学生的数学素质，进而提高学生的探究拓展能力，而教材是实现课程目标、实施教学的重要资源。由单墫主编的苏教版教材充分体现了数学课程标准的基本理念。笔者通过一道课本探究拓展题的求解、延伸和拓展，让学生通过自主探究，发现和提出新的问题，在分析和解决问题的过程中，收获了成功的喜悦，积累了数学基本活动经验，使学生的数学素养得到了升华。

关键词：课本习题；探究拓展；数学素养；三角形内心；向量表示

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）17-072-2

一、问题的提出

苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者；在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”笔者认为，学生的数学学习活动不应只局限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学教学还应引导学生进行自主探究、动手实践等学习活动。在这方面，教材起到了很好的引领和示范作用。苏教版普通高中课程实验教科书《数学》在课后习题和复习题部分设置了不同层次的栏目：“感受·理解”、“思考·运用”及“探究·拓展”，其中“探究·拓展”栏目就是着眼于鼓励学生探究、创新，所选问题充分关注探究性、创造性和开放性，充分激发学生的学习兴趣，开拓学生的思维，培养学生的创新能力和核心素养。在日常的数学教学中，笔者鼓励学生对“探究·拓展”栏目下的问题进行联想和拓展，学生在处理这些问题时迸发的思维火花，经过老师的有效点拨，往往能收获意想不到的成果。

苏教版必修4 P84上的一道探究拓展题：已知向量OA，OB，OC满足条件OA+OB+OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|，求证：△ABC是正三角形。问题本身不难理解，OA+OB+OC=0表明O是△ABC的重心，|OA|=|OB|=|OC|表明O是△ABC的外心，因此△ABC是正三角形很好理解，关键是教材P82例2由OA⊥BC，OB⊥AC可推知O是△ABC的垂心，而对于三角形的几个“心”，高中学生的印象还是比较深刻的，既然有了重心、垂心、外心，很自然就会促使学生去想三角形内心的情况是怎样的？是不是也有类似的、比较简洁的向量表达形式？教材在探究拓展栏目中设置了这样一道习题，确实激发了学生的学习兴趣和求知的欲望。

很多学生通过翻阅资料和上网搜索找到了一个公认的最漂亮的向量等式a·OA+b·OB+c·OC=0，但是普遍反映很难证明。笔者将学生处理该问题时的迸发一些思维火花放大和聚拢，和学生一起将问题成功解答。在此过程中不仅学生收获了发现问题、解决问题的成就感，老师在分析问题的过程中也拓展了思维空间，真正实现了教与学的“双赢”，现整理出来与大家分享。

二、问题的解决

1.把向量转化成实数

该问题叙述明确，给出的向量等式整齐、和谐，是一个对称式，非常美观，但直接用却很难得到结果，因此要想办法先消掉一个向量，怎么消呢？联想到必修5利用向量证明正弦定理的方法，找一个与其中一个向量垂直的向量去乘以等式的两边，把向量问题转化为实数这一朴素的思想方法。

方法1：作辅助向量n⊥OA，且|n|=|OA|，由已知可得b·n·OB+c·n·OC=0，即b·|n|·|OB|·cos（∠AOB-90°）+c·|n|·|OC|·cos（270°-∠AOC）=0，

∴b·|n|·|OB|·sin∠AOB-c·|OA|·|OC|·sin∠AOC=0，

∴2bS△AOB-2cS△AOC=0，设O到AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，则bch1-cbh2=0，

∴h1=h2，同理可得h2=h3，所以O为△ABC的内心。

点评：课本是知识的载体，也是方法的源泉，我们要充分认识到课本的重要性，更要多角度的解读课本，尽可能多的发挥课本的功能。

2.挖掘等式的结构特点

从结构上分析，该等式左边是三个向量的和，右边是0，类似于OA+OB+OC=0，所以想到能否转化成重心问题来研究呢？

方法2：分别作向量OD=a·OA，OE=b·OB，OF=c·OC，∴原等式即为OD+OE+OF=0，易得O为△DEF的重心。

∴S△ODE=S△ODF=S△OEF=13S△DEF，

∴12OD·OF·sin∠DOF=12OD·OE·sin∠DOE，

12a·|OA|·c·|OC|·sin∠AOC=12a·|OA|·b·|OB|·sin∠AOB，

∴cS△AOC=b·S△AOB。設O到AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，则bch1-cbh2=0，

∴h1=h2，同理可得h2=h3，所以O为△ABC的内心。

点评：该方法的得证来自于一次偶然的尝试，然而，偶然之中也有必然性。向量是中学数学知识的网络交汇点，它能与平面几何、解析几何、三角、数列、不等式等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅。此方法还能解决以下类似问题：

1.已知O在△ABC的内部，有AB=4OB+5OC，则△OAB与△OBC的面积之比为。

2.△ABC内接于以O为圆心的圆，且3OA+4OB+5OC=0，则△ABC的面积S=。