增加Δ算子的Gödel n值命题逻辑系统理论的平均真度

王勇勇，惠小静

延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000

1 引言

众所周知，数理逻辑一直以来都是一种极具形式化的理论，其自身最大的特点就是符号化，为了攻克这一难题，王国俊在计量逻辑学中，从对基本概念入手，给出了公式真度的定义[1-2]。为此，众多研究人员在不同的逻辑系统中投身于真度理论的研究，并取得了丰硕的成果[3-4]。

到目前为止，在关注度高的逻辑系统中，因为在Gödel命题逻辑系统和Goguen命题逻辑系统中否定性太强，因此对其进一步或深入探究遇到了巨大的障碍。为了克服这一难题，研究引入一种新的算子Δ[5-6]，此算子具有去模糊化的特性，即当a＜1时，Δa=0。当a=1时，Δa=1[15]。因此，基本逻辑系统BL在增加了Δ算子后扩张为BLΔ系统。现如今，在该系统中增加对合否定连接词后，便可形成SBL_，因此在该系统中Δ演绎定理和强完备性定理的成立就显而易见了，弥补了Gödel系统和Goguen系统的不足，从而，使得有关研究可以成功展开。模糊推理的已知条件均可以转化为模糊命题，最终得到的结果也是模糊命题，因此推理研究的重点内容是对命题集某个命题的蕴涵关系。与此同时，它实质上刻画的就是模糊命题的真值。因此，时常将命题和真值同样对待。在对其进行探究的实际过程中，事实上是对命题的真值进行研究。因此，在模糊推理中，为了实现模糊到分明的转化，真度作为真值的另一种表现方式，引入Δ这个特殊算子在这里就显得尤为重要。

正因为这样，惠小静在研究中利用Δ算子的特殊性，提出了增加Δ算子的Gödeln值命题逻辑系统的概念，同时也证明，在此系统里Δ演绎定理与强完备性定理也是成立的，因此也为在此系统中研究计量逻辑理论提供了可能，而且为日后探究带有Δ算子的Gödeln值命题逻辑系统的其他性质提供了突破口[6]。李骏等在逻辑系统中提出了有限理论间的平均真度的概念[7-8]；惠小静等讨论了Gödeln值命题逻辑系统的Δ真度，这将为研究增加Δ算子的平均真度奠定基础[9]。

本文首先给出了增加Δ算子Gödeln值命题逻辑系统的平均真度的定义，接着讨论了在该系统下平均真度的一些并与交的相关性质，这为以后近一步在该系统中研究平均真度及建立度量空间打下了坚实基础。

2 预备知识

定义1[5]（GödelΔn值命题逻辑系统）在值命题逻辑系统中增加了Δ连接词，公理是在Gödel原有的公理之上增加以下公式：

若L是Gödel命题逻辑系统的公理化扩张，那么把LΔ称为L的扩张，其扩张方式就如Gödel扩张为GödelΔ一样，GödelΔ系统中以下Δ演绎定理成立。

定理1[5]（Δ演绎定理）记L是GödelΔ的公理化扩张，那么对任意理论Γ，公式A和B，有：

定理2[5]（强完备性定理）令L是GödelΔ的公理化扩张，那么对理论Γ和公式A，以下条件等价：

（2）对任何一个L代数Κ和任意理论Γ的每个模型e，它们都有e()A=1。

定义3[9]设公式包括m个原子公式是公式 ΔA所诱导出的函数，令：

命题1[9]在Gödel系统中，设 A,B,C∈F(S)，则有：

（1）若ΔA是重言式当且仅当τn(ΔA)=1，ΔA是矛盾式当且仅当τn(ΔA)=0；

定义4设Γ为理论，如果Γ全由重言式组成，则称Γ是完全相容理论；若Γ全由矛盾式组成，则称Γ是完全不相容理论。

定义5设Γ是全体理论之集，分别定义一元运算¬：Γ→Γ和二元运算→：Γ×Γ→Γ如下：

注1显然，如果定义4中的理论都只包含一个公式时，则Γ上的¬运算和→运算在F(S)也同样适用，因此Γ上的¬运算和→运算与F(S)上相应运算的唯一区别就是前者范围更广，后者是基础。

注2由上可知可以，在Γ上分别引进二元运算∨、∧如下：

3 有限理论的平均真度

定义6设理论 Γ={A1,A2,…,Ak}，令则称τGn(ΔΓ) 为理论Γ的Δ平均真度。

特别的，当Γ只含一个公式 B时，τGn(ΔΓ)=

定理3在系统Gn中，设理论Γ={A1,A2,…,Ak}，则：

（2）同样由定义6、定义4及命题1的（1）知τGn(ΔΓ)=0当且仅当，所以都是矛盾式，同理可得Γ是完全不相容理论。

推论1在系统Gn中，设理论Γ={A1,A2,…,Ak}，则：

证明很显然由定义3和定义6得到：

例1 在系统G4中，设Γ1={A1,A2,A3}，且，求 τG4(ΔΓ)1。

解由定义3知：

因此由定义6知：

例2 在系统G4中，设Γ2={A1,A2,A3}，且 A1=p，，求

解由定义3知：

因此由定义6知：

定理4在系统Gn中，设理论Γ1={B1,B2,…,Bl}，，则：

证明由定义4、定义6及命题1的（3）可得：

定理5在系统Gn中，设理论则

证明由定义4及命题1的（4）知：

定理6在系统Gn中，设理论Γ1={B1,B2,…,Bl}，，则有：

证明（1）因为2,…,s},则由定义6及命题1的（5）得：

（2）利用定义6及命题1的（6）同理可证。

推论2 在系统 Gn中，设有 Γ1,Γ2,Γ3∈F(S),α,β∈[0,1]，则：

证明（1）由定理6的（1）可得：，因此移项可得：

定理7 在系统Gn中，设理论若则

证明因为，所以有1 ，又根据定理6（1）可得移项可得

定理8在系统Gn中，设理论Γ={A1,A2,…,Ak}，则0≤τGn(ΔΓ)≤1。

定理9在系统Gn中，设理论Γ1={B1,B2,…,Bl}，Γ2={C1,C2,…,Cs},Γ3={D1,D2,…,Dk}，则：

证明由定义6知：

因此

又因为对任意 b,c,d∈Gn,有所以，从而：

又因为

所以有：

4 结束语

本文首先引入了新的算子Δ，然后利用Δ算子运算的特殊性，在增加了Δ算子的GödelΔn值命题逻辑系统理论中，提出了平均真度的概念及一些重要性质，这也为进一步研究GödelΔn值命题逻辑系统的平均真度理论奠定了坚实基础。