夯实基础是根本所在 落实素养为应然旨归——2018年安徽中考数学试题分析及教学启示

☉安徽省阜阳师范学院附属中学 刘国超

2018年安徽中考数学试卷结构继续保持稳定，命题朴实，各种难度的试题比例适当.整体上试题较为常规，不少题目让考生一见如故，平和亲切，主要表现在注重基础，关注数学的应用意识与创新意识，重视考查学生的基本数学素养.整卷试题对培养学生的创新精神、实践能力，提升学生核心素养的数学课程、教学改革都有积极的导向作用.

一、试题特点分析

1.重视“四基”，着重考查数学核心内容

试题重视测量学生作为一名合格的初中毕业生应具备的数学基础，这与《课程标准》《中考考试纲要》的相关要求保持一致.其中选择与填空题的第1、2、3、4、5、6、7、8、9、11、12、13题都是单一知识点或者是在最基础的知识交汇点上设置的，约占选择与填空题的80%，考查了实数的有关概念、科学记数法、同底数幂的运算法则、常见几何体的三视图、因式分解、增长率问题、一元二次方程根的判别式、数据分析观念与概率、函数图像判断题、数式规律、解一元一次不等式、格点作图、列方程解应用题、三角函数的应用、圆的计算等知识点，都是近五年反复考查的，它们约占总量的70%，体现了《课程标准》倡导的“面向全体学生”的基本理念，考生解答这部分题目没有太大的障碍，有利于考生心态的平稳，也有利于考生的正常发挥.

例1 （2018年安徽中考第3题）下列运算正确的是（ ）.

分析：根据整式的运算法则即可找出答案D.本题考查同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方：（ab）n=anbn，（am）n=amn等运算法则.

例2 （2018年安徽中考第16题）《孙子算经》中有过样一道题，原文如下：

“今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽.问城中家几何？”

大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完.问：城中有多少户人家？

分析：本题考查一元一次方程的应用，要求学生熟练运用方程解决问题.根据鹿的头数不变，列出一元一次方程求解即可：设城中有x户人家，可列方程为100，解得x=75，所以城中有75户人家.

数学素养考查方式分析：模型思想是从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学语言表达问题、用数学方法建立模型解决问题的素养.本题是一元一次方程模型的应用题，起点较低，入口较宽，考生上手容易，列出的方程也比较丰富，比如：设城中有x户人家，列出的方程有x=3（100-x）；x+3（100-x）=2x；设城中有3x户人家，列出的方程为3x+x=100；还有考生列出二元一次方程组的，甚至部分考生列出了分式方程进行解答.

2.强化数学思想方法，注重数学思维能力

安徽中考历来重视数学思想与方法的考查，今年也不例外.如考查数形结合思想的有第10、13、17题；转化思想则体现在第19、22、23题中；而分类讨论思想则在第14题中体现.同时试题突出了对学生思维能力的考查.如第20题将尺规作图（角的平分线）、勾股定理与圆的知识有机结合，考查学生的作图能力和逻辑推理能力.总之，试题彰显了数学核心素养从知识理解到运用数学知识解决问题的能力的提升，注重对学生数学思维能力的考查，体现《课程标准》的理念.

例3 （2018年安徽中考第14题）矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE △DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为_____.

解析：由于四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，所以BD=10.

因为△PBE △DBC，所以∠PBE=∠DBC，所以点P在BD上.

如图1，当DP=DA=8时，BP=2.

因为△PBE △DBC，所以PE∶CD=PB∶DB=2∶10，所以PE∶6=2∶10，即PE=1.2.

如图2，当AP=DP时，P为BD的中点.

因为△PBE △DBC，所以PE∶CD=PB∶DB=1∶2，即PE∶6=1∶2，所以PE=3.

综上所述，PE的长为1.2或3.

图1

图2

评析：这道填空题没有提供图形，却渗透了分类讨论思想，问题的设计具有一定的探索性，增加了该题的难度和区分度，使它成为填空题的一个亮点.从考生的答题情况看，有很多考生只填出来一个答案；也有部分考生填写了三个、四个答案；只有很少的考生填对了两个答案！因此该题是填空题中得分率最低的，这说明学生的画图能力和分类处理问题的能力都有待加强.建议在题目中注明相似三角形的对应顶点，以避免耽搁考生的思考时间.

例4 （2018年安徽中考第20题）如图3，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.

（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.

图3

分析：（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E，据此作图即可.

（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE.由AE平分∠BAC，可推导得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的长，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的长.

数学素养考查方式分析：本题考查了尺规作图——作角平分线、垂径定理等，熟练掌握角平分线的作图方法、推导得出OE⊥BC是解题的关键.从阅卷的结果看，角平分线的尺规作图失分严重.作图能力是发展几何直观这一素养的主要途径.试题将作图能力、逻辑推理能力、数学运算相互融合，多角度考查学生的数学素养.

例5 （2018年安徽中考第23题）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD的中点，CM的延长线交AB于点F.

（1）求证：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

（3）如图5，若△DAE △CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.

图4

图5

分析：（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半进行证明即可得.

（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=40°，根据CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，从而可得∠CMD=2∠CBM，继而可得∠CME=2∠CBA=80°，根据邻补角的定义即可求得∠EMF的度数.

（3）由△DAE △CEM，CM=EM，∠DEA=90°，结合CM=DM以及已知条件可得△DEM是等边三角形，从而可得∠EDM=60°，∠MBE=30°，继而可得∠ACM=75°. 连接AM，结合AE=EM=MB，可推导得出AC=AM，根据N为CM的中点，可得AN⊥CM，再根据CM⊥EM，即可得出AN∥EM.

数学素养考查方式分析：本题作为全卷的压轴题，要求学生结合题目条件，综合三角形全等、相似的知识进行逻辑推理与计算，有效承载了其应有的选拔和区分功能.

这也是一个梯度合理、层次发明的题目，第（1）和（2）问考生比较熟悉，绝大部分考生都能正确寻找条件完成解答；其中第（3）问的证法多样，不同思维层次的学生添加不同的辅助线，构造出丰富的全等或相似图形，公平、合理地考查学生分析问题和解决问题的能力与数学推理能力.充分展示了学生的数学素养！

3.适度创新，监测学生的数学素养

试卷的第14题以矩形ABCD为背景，考查了对等腰三角形进行的分类讨论思想；第16题，选自《孙子算经》中的一元一次方程应用问题，使考生感受到中华民族优秀传统文化的博大精深和源远流长，激励他们创造出更加辉煌的成就；第18题的数学抽象和推理、第19题的数学应用和数学建模；第20题意在考查学生的尺规作图能力和逻辑推理能力，都具有较好的区分度，都对学生的核心素养进行了很好的考查，体现了“大稳定、小创新”的命题理念.

例6 （2018年安徽中考第18题）观察以下等式：

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：___________________；

（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明.

数学素养考查方式分析：本题考查了等式变化的规律，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键；同时考查了学生的抽象概括能力和推理能力，反映合情推理与演绎推理的关系，试题将逻辑推理和数学运算的数学素养有机结合起来进行考查.

4.关注应用，注意理论联系实际

试卷重视数学知识的应用，背景来自于学生所能理解的生活现实与社会现实，如第19题以测量旗杆高度、第22题以大学生家乡创业为命题背景，将数学知识与实际问题相结合，考查考生的阅读理解能力及应用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学的应用价值与人文特色，其中知识难度并不复杂，主要在计算能力上的要求较高，也对考生的阅读理解能力、数据处理计算能力和数学思维进行了全方面的考查.

例7 （2018年安徽中考第19题）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置个平面镜E，使得B、E、D在同一水平线上，如图6所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED）.在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问：旗杆AB的高度约为多少米？

（结果保留整数）

（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）

解析：如图6，因为∠AEB=∠FED=45°，所以∠FEA=90°.

答：旗杆AB的高度约为18米

数学素养考查方式分析：本题以现实生活中“测量旗杆高度”为背景设置问题，考查解直角三角形的基本方法、特殊三角函数值及数形结合的数学思想，把几何直观、数学建模与数学运算等数学核心素养有机结合起来进行考查，突出了应用意识和创新意识.虽然解题方法多样，但是要求考生经历实际问题→数学模型→应用模型→解决问题的过程，能让不同层次的学生展示自己对数学建模的理解，同时要求考生能清楚地表达自己的思考过程和结果，具有良好的区分度，彰显了《课程标准》增强数学应用意识的理念.

图6

二、学生答题错误原因分析

1.基础知识掌握不扎实

从试卷中的基础题的答题情况看，部分学生对基本概念和基本原理掌握不牢，存在知识盲点.表现在对同底数幂的运算、科学记数法、因式分解的意义、立方根的定义、负整数指数幂等知识理解模糊，特殊角的三角函数值混淆，没有掌握平行四边形的判定方法等.另外，从第17题可以看出学生的位似作图能力弱；第20题要求考生用尺规完成基本作图——作角的平分线，得分率低于40%！

2.运算能力不过关，计算过程出错

例如，第15题考查了实数的运算，是一道基础题，但得分率仅为65%，失分的因素主要有：将5°错误写成等于0或5；把错误写成4；以及计算错误，如产生错误的原因是不理解零指数幂的意义、算数平方根的意义等.

又如，第22题第（2）小题求二次函数的最大值的过程中，部分考生出现160×50=800、160×50=9000、19×50=1350等错误；有的对二次函数解析式进行配方变形出现错误；还有的考生在配方变形中出现了较大的分数，就怀疑错误而终止了继续解答；这一小题平均得分仅为1.03分（本小题满分6分），反映了很多考生不具备较扎实的基本功和运算能力.

3.推理论证不缜密

考查思维和推理能力是中考数学试卷的主要功能之一，通过阅卷反映出学生在这两方面的能力欠缺，表现出不能从已知条件出发，判断结论的真伪、不能对题目中的信息进行整合、转化、不能从复杂的图形中分离出基本图形、几何证明思路混乱等.例如，第23题的证明就是如此，考生普遍感觉有些难度（本题满分14分，第一问第（1）小题4分，实际平均得分1.21分；第（2）小题5分，平均得分0.94分；第（3）小题5分，平均得分0.23分），在整个试题中本题得分最低！

三、教学启示

1.夯实基础是根本所在

中考试题体现了《课程标准》倡导的“对基础知识和基本技能的考查，还要注重考查学生对其中所蕴含的数学本质的理解，考查学生能否在具体情境中合理应用，这为我们的教学指明了方向.中考试卷中的很多问题来源于教材，教材的编写突出基础知识、基本技能、基本数学思想和数学基本活动经验.

比如，教材中的几何内容，在教学中要重视学生对概念、公理、定理的理解与运用，中考几何题多以基础题为主，试题源于教材又异于教材，综合题的原型基本是教材中的例题或习题，是教材中题目的引申、变形和组合.注重基础和突出思维能力仍是教学的着力点.

因此，在教学中应立足于教材，合理定位、准确把握教学方向，要注重观察归纳能力、抽象能力、想象力和创造力的培养，不以解决问题作为教学的终结点，而应将数学基本活动经验的积累贯穿在全过程中，让学生在学好基础知识、掌握基本技能的同时强化思维能力培养，并通过不断的积累运用，内化为自己的知识经验，切实夯实基础.

2.落实素养为应然旨归

在平常的课堂教学中，让学生夯实基础是培养学生数学素养的必然途径.在复习教学中，发挥评价的激励功能.一方面通过变式训练，让学生理清问题的实质，找到易混的知识点，并加以区别、辨析，有助于学生巩固所学知识、提高复习效率，同时进一步总结蕴含数学核心素养的重要知识的表现形式、总结体现数学思维和问题解决型的题目的规律，提升复习效果；另一方面，在教学过程中，要给学生反思自己思维过程的时间和机会，引导学生重视反思解决问题用到的数学思想方法和技能，在解决问题的过程中走过哪些弯路、犯过什么错误，这有助于学生克服再错现象，积累经验教训，提高思维能力，在面对考试的时候，就可以找出合理的解答路径，从容应对.让平常的课堂教学与中考复习教学一以贯之，培养与发展学生的数学素养得到真正落实！

3.在学生解题表达的逻辑上反思教学要严谨思维习惯，注重有条理地表达

数学语言是数学思维和数学交流的工具.阅卷时我们发现部分考生因看不懂题干而无法做题；有部分考生因解题不规范，证明时语言不准确、思维混乱而失分的现象普遍存在；也有部分考生认为作答题目时需要怎样的条件和结论，就想当然地写出这个条件和结论，凭自己对几何图形的观察直接写出需要的结论，全然不考虑它的依据.因此，在教学中，我们不仅要重视培养数学推理必须步步有据，解题表达要合乎逻辑，还要重视细节教学（如书写格式的规范化、证明依据的规范使用等），加强学生数学语言的训练，让学生能够自觉地将文字语言、图形语言、符号语言相互转换，养成合乎逻辑、有条理地表达的素养.

总之，今年中考试卷持续体现对数学核心素养的重视，既考查了数学的核心内容，又对数学课堂教学产生积极的导向作用.因此，在教学中要注重数学“四基”，提高学生的思维水平，提升应用意识与创新意识，加强教学思想方法的渗透及数学素养的培养，夯实基础是根本所在，落实素养为应然旨归.