读懂学生思维，促进思维生长*

☉浙江省湖州市南浔区教育教学研究和培训中心 褚水林

数学是思维的体操，培养学生数学思维能力是数学教学核心目标之一.数学教学不仅关注知识和方法的学习，更要关注学生思维能力的培养，让学生在学习过程中学会思维、学会学习、学会求知，从而提高学生的数学素养.但从日常的教学调研、访谈分析，部分教师在教学中存在着“重结果、轻过程”“重数量、轻质量”“重知识、轻思维”的现象，究其原因，教师重在关注自身的教，关注学生的学还不够，缺少研究读懂学生意识，缺少学生学习心理的核心知识，缺少思维能力培养的策略和方法.学生是学习的主体，教育出发点、归宿点都应体现在学生身上.只有了解学生、研究学生，读懂学生思维，走进学生心灵，我们的教学才更有效，将培养学生思维能力真正落实在日常教学之中.怎样才能读懂学生思维，促进学生思维生长呢？

一、营造平等、民主的课堂氛围——让学生敢想敢说

要读懂学生思维，前提条件是让学生充分暴露思维过程.要暴露学生的思维过程，需要营造和谐、安全、平等、民主的课堂氛围.心理学家罗杰斯曾指出，一个人的创造力只有在其感觉到“心理安全”和“心理自由”的条件下才能获得最大限度的表现和发展.首先，建立和谐的师生关系.当师生关系、生生关系融洽时，学生会感受到课堂的心理安全感，学生会主动投入到数学学习中，会大胆交流、乐于发表自己的见解.因此，教师需要进一步转变角色，要从内心深处关爱学生，面向全体，要以组织者、引领者、促进者的角色组织教学，建立良好、平等的师生关系.其二，给予学生思考时间与空间.课堂是师生交流、生生交流、师生共同成长的园地，思维碰撞的场所.当课堂定位为发展学生生命成长的高度的时候，教师需要创设数学活动，让学生真正经历概念的形成过程、定理的发现过程、结论的应用过程、方法的提炼过程.在活动过程中，向学生提供自主、宽敞思考的时间和空间，让学生有机会有时间想，而不是教师急于告知，也不是经常打断学生思路.教师要创设平台，给予学生自主表达思维过程的机会，让学生有机会表达和交流.

二、读懂学生思维的精彩——让学生展示相异构想

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程.走进课堂，走进变化.真实的数学课堂不可能完全是一种预设执行和再现，更多的是充满“变数”的“生成”，更多的是来自学生的精彩.由于学生学习基础、学习风格、学习环境的差异，每个个体学习方式并不相同，教师要真正走进学生，了解学生的学习反映，了解学生的思维状态.怎样读懂学生的精彩思维呢？首先，创设载体，让学生充分展示精彩思维过程.设计元问题，由元问题生长新问题，学生在发现问题、提出问题、分析问题、解决问题过程中又产生新问题，由问题引发学生积极思维，由不断递进问题提高学生思维层次，碰撞学生思维火花.其二，教师要做一个观察者、聆听者、发现者、点拨者，善于捕捉学生的思维过程，用欣赏的眼光读懂学生独到的观点、不同的想法、精彩的解法.其三，教师善于组织学生自主学习、合作探究、交流展示，让学生能耐心聆听其他学生不同的思考方法，开拓自身思维.

案例1：八年级“一次函数与几何结合复习”教学片段.

这是由简单图像出发的开放性问题，由于起点低、思维宽，结论、策略均开放，学生能从不同视角发现问题、提出问题，从而分析问题、解决问题.下面呈现部分学生提出的具有价值的问题.

生1：取线段AB的中点M，求中点M的坐标，还可求直线OM的解析式.

生2：求经过点P（0，10）且平行于直线AB的直线的解析式.

生3：在x轴上是否存在一点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

生4：在坐标轴上否存在一点P，使△ABP是等腰三角形？

生5：在AB上方是否存在点P，使△ABP是等腰直角三角形？

生6：在直线AB上是否存在点Q，使S△BOQ=S△AOB？

生7：在直线AB外是否存在一点Q，使S△ABQ=S△AOB？

生8：在直线AB外存在一点Q，使S△ABQ=S△AOB，这样的点有无数多个，这些点形成什么图形？能否求出解析式？

……

学生讨论非常激烈，思维火花一浪激起一浪，最后教师组织学生逐一解决生成的每一类问题，在解决问题过程中又展现精彩的思维.

通过设计元问题生长新问题的方式，由简单到复杂，学生参与思维的动力、活力不断激活，参与思维含量不断增加.不同学生都呈现了思维精彩，学生设计问题时，教师还可引导其从点、线、面进行分类归纳.从点上突破，设计求线段中点的坐标；从线上突破，设计两线的位置关系问题；从面上突破，设计特殊三角形（等腰三角形、等腰直角三角形）存在性问题、三角形面积问题等.这里不仅呈现问题多样性、独特的想法，而且思维灵活性、层次性、深刻性得到较好体现.学生思维多样性，也促进教师思维能力提升，真正体现师生共同成长.

三、读懂学生的思维偏差——教师适时恰当指导

初中生由于受年龄、身心发展的制约，思维还未成熟，对数学问题本质的认识和理解还是比较肤浅的、表面的、不全面的.教师要善待和包容学生差错，研究学生思维特点，读懂学生思维的缺陷、偏差，析其原因，并针对性加以策略和方法的指导，提高学生的思维能力与思维品质.

1.思维无序化

“思维无序化”是指学生思考和解决数学问题方向不明、思路混乱的无序状态.知识不全面，储存知识零碎缺乏关联，思维方法手段单一而出现思维混乱的无序状态，主要表现在解决数学问题过程中，分析过程缺乏有序思考方法，问题解答过程中或推理论证不清晰或问题结果考虑不全或因果关系错位等.

案例2：图形规律问题你怎么想.

为了了解学生解答数学问题的思维过程，选取了一组图形规律问题，由本区基础较好的S校九年级两个平行班学生进行解答.

原题呈现：如图1～3，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第3个图形中所有正三角形的个数为___，请写出思考过程；第5个图形中所有正三角形的个数为___，请写出思考过程；第n个图形中所有正三角形的个数为___，请写出思考过程.

图1

图2

图3

测试结果出乎意料，第①问正确率为81.8%，第②问正确率只有32.3%，第③问正确率仅有3%.

为了弄清问题产生的根源，笔者对学生写出的思考过程进行梳理归纳，选取有代表性的思考过程.

生1：图1中正三角形的个数为5，图2由3个图1和1个等边三角形组成，所以3×5+1=16（个），图3由3个图2与1个等边三角形组成，所以16×3+1=49（个）.

生2：图1中有4个，图2中有1+31+32=13（个），图3中有1+31+32+33=40（个），第5个图形中有1+31+32+33+34+35=364（个），第n个图形中有1+31+32+33+34+35+…+3n（个）.

生3：由具体数三角形寻找答案，图1中正三角形的个数为5，图2中为12+4+1=17，图3中为36+3+4+1=44.

生4：图1中有4+1=5（个），图2中有12+4+1=17（个），图3中有36+12+4+1=53（个），第4个图形中有108+36+12+4+1=161（个），第5个图形中有324+108+36+12+4+1=485（个）.

生5：图2由3个图1和中间、外边两个等边三角形组成，图3由3个图2和中间、外边两个等边三角形组成，以此类推，所以图1中有3+2=5（个），图2中有3×5+2=17（个），图3中有17×3+2=53（个），第4个图形中有53×3+2=161（个），第5个图形中有161×3+2=485（个）.

生6：图1：2×31-1；图2：2×32-1；图3：2×33-1；第4个图形：2×34-1；第5个图形：2×35-1；第n个图形：2×3n-1.

显然，解答不正确者，不在于知识欠缺，而在于思维处于无序或乱序状态.观察时顺序混乱而漏解，漏掉中间的正三角形或外围的大正三角形.解题策略上未能从联系的、整体的视角思考，往往从单个图形思考，且计数的方法比较原始.显然，给出正确解答的学生在解决本问题时思维活动处于有序状态，能发现图形生长规律，从而顺利解决问题.

著名的苏联心理学家克鲁捷茨基认为，有序思维是指思考和解决数学问题时遵循一定的顺序、按照特定的线索和步骤去探索的一种思维方式.这种思维方式有利于解决较复杂的开放性问题，避免了盲目地纯凭经验解题的弊端.怎样引导学生从无序逐步走向有序呢？首先，引导学生观察有目的、有顺序，或由内到外、从左到右，或从局部到整体，或从整体到局部；其次，思考解决问题的策略从特殊到一般，或从一般到特殊，探寻基本规律和方法或基本步骤.如对于本案例，可以引导学生梳理归纳解决数字、图形规律问题的基本步骤：分析、尝试、归纳、验证.①观察分析：与序号联系；②推理尝试：把握整体和局部；③猜想归纳：写出关系式；④验证规律：取多个值验证.

2.思维表面化

“思维表面化”是指学生思考问题时容易被问题表象所束缚而未抓住本质的思维状态.主要表现在满足于对结论、公式、定理的简单套用，对问题的肤浅认识，缺乏站在数学思想方法角度深度思考.这样的思维，不利于理解数学问题本质，不利于核心思想方法领悟，同时制约了知识的迁移和能力的发展.

案例3：为什么会列出这样的方程呢？

原题呈现：机械厂车间40名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉600个或螺母300个，1个螺钉要配2个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

教师出示题目后，先让学生独立思考，生1板演：

解：设生产螺钉的有x名工人，根据题意得：

600x=2×300（40-x）.

解得x=20.

答：生产螺订的有20名工人，生产螺母的有20名工人.

做完后生1看了看解题过程，似乎感觉不太对，但一时找不出原因，带着疑惑回到自己的座位.

教师先统计多少同学像生1这样列方程，结果超过一半同学是这样列的，出乎教师预料.此时，教师先让学生代入检验，生产螺订12000个，生产螺母6000个，这与1个螺订要配2个螺母相矛盾，学生纷纷议论.

生2：我认为应该是2×600x=300（40-x），螺母的数量要多，螺钉的数量要少.

师：说得对，螺母的数量多，螺钉的数量少.

教师在黑板上又举例说明：

螺钉 螺母

1 2

2 4

3 6

……

师：从螺钉与螺母数量的比例关系知道，螺母的数量是螺钉数量的2倍.所以2×600x=300（40-x）.

评析：学生为什么会列出方程600x=2×300（40-x）呢？一是学生没有理解1个螺订要配2个螺母的真正含义，仅是从1个螺订要配2个螺母字面意义列出数量关系误认为等量关系，缺乏数学表征意识；二是没有理解列方程解应用问题的本质，事实上列方程的关键是寻找等量关系，就是同一数量用两种不同的形式表示而已.如方程右边表示螺母的数量，方程左边用另一种形式表示螺母的数量，用螺钉数量表示螺母的数量，从1个螺钉要配2个螺母转化为螺母的数量是螺钉数量的2倍.

从思维表面化逐步走向思维本质化，首先让学生真正经历观察、分析、比较、归纳、抽象思维活动，理解数学概念、公式、法则、定理、方法的本质；其次，引导学生正确表征数学问题.维果茨基认为：“教师在向学生提供有效认知任务的同时，还应该提供合理的学习支架，使学生可以借助支架参与问题解决并获得意义上的理解，从而确保教学获得最大效益.”数学问题表征是数学问题解决的核心和关键，要理解问题本质，教师在日常教学中应加强对学生数学语言（文字、符号、图形、表格等）表达能力的培养，促进学生能对问题进行多元表征；最后，注重变式，从一题多解、一题多变、多题归一等途径，发现变中不变的规律，从而从思想方法层面剖析问题的本质.

3.思维单一化

“思维单一化”是指学生由于思维惰性、思维定式而习惯于孤立地、静止地看问题，满足于求问题的单一解，不能从整体上把握数学对象，缺乏用运动、发展、联系的观点全面认识事物.这样的思维，不利于学生对问题本质的深刻理解，不利于思维灵活性、深刻性的培养.

案例4：（浙教版七年级（下）课本第57页作业题）要在一条河上架一座桥（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直），请提供一种设计方案，使A地到B地的路程最短.请说明理由.

学生课堂练习中出现的三种画法（如图4～6）：针对三种画法的出现，及时与学生进行交流.

图4

图6

生1：根据“两点之间线段最短”连接AB可得.

师：条件“桥与河岸垂直”你怎么理解？（生1沉默不语）

生2：根据条件“桥与河岸垂直”，过点B作河岸的垂线交河岸于点C、D，再根据“两点之间线段最短”连接可得.

师：请你测量A地到B地的路程并与图6的路程作比较.（通过测量后，学生认识到图6的路程更短）师：本题中什么条件使我们解题感到困难？生：河的存在.

师：由于河的存在使我们解题发生了困难，桥址的两个端点未定，但两端的距离是定值（河宽）.那么我们可以通过平移使河岸重合，把A向上平移河的宽度至A1，根据“两点之间线段最短”，连接可得A1B，从而问题容易解决，见图7.

图7

对于本题，学生利用“两点之间线段最短”的知识来解决问题的思维方向是正确的，但对于条件“桥与河岸垂直”的处理，大部分学生感到束手无策.究其原因，是由于学生的思维单一化，缺乏用运动、发展、变化的眼光全面认识数学问题.学生出现思维单一的情况，与我们教师平时在教学中过分注重复习铺垫、过分强调模型不无关系，当遇到一个新问题时，学生习惯了由教师暗示他，教师则习惯于帮助学生找准知识的生长点与连接点.因此，虽说我们的学生解题不少，但他们最擅长的是解决熟悉的问题，而一旦遇到找知识的生长点与连接点问题时，往往一筹莫展.因此，在教学过程中，所选择的问题及安排的数学活动，不仅要适合学生现有的思维水平，还应考虑思维的进阶水平.策略上，注重知识的内在逻辑结构，注重知识间的纵横联系，培养学生从多角度、运动变化观点分析问题、解决问题，以锻炼多向发散，寻求变异的能力，从而开阔学生的思路.

读懂学生思维，教师关爱之心是前提，从关注自己的教转向关注学生的学，从关注知识教学转向知识思维融合教学.读懂学生思维，需要专业知识能力，从了解学生思维方式到读懂学生思维过程，从读懂思维过程到借助支架训练学生思维、指导学生思维、开发学生思维.读懂学生思维，需要从学生成长的观念思考，生长知识、生长方法、生长思维.