一个非线性随机偏微分方程解的存在惟一性

王 昭, 鲍金洲, 李永坤

(长春工业大学 数学与统计学院， 吉林 长春 130012)

0 引 言

1951年，Ito的经典文章为随机方程引入了经典工具随机积分，随机方程自此进入了一个新的蓬勃发展的时代[1]，类似于随机常微分方程(SODE)的多样性，随机偏微分方程(SPDE)同样广泛存在于各个领域中(例如物理、化学、生物等), 并且有可能会更好地解释世界，例如描述流体力学中的湍流、描述波在随机介质中的传播、描述化学中合金的分离以及来自生物学中的模型等[2]。

众所周知，高维非线性随机偏微分方程解的惟一性是重点和难点之一，随着非线性随机偏微分方程深入研究，对于二阶非线性方程的研究涌现了大量有意义的结果，Duan[3]利用转化思想处理了一类随机微分方程，将微观模型定义在带有小孔或不均匀的介质中，随着小孔的消失，微观模型自然转化为宏观模型；Zhang等[4]研究了随机非线性方程的光滑解的存在性；Zhang[5]、Breit[6]研究了非线性随机方程解的正则性。

随着高阶非线性抛物型随机偏微分方程研究重要性的显现，大量学者开始关注这个方向，Blomer[7]研究了四阶抛物型方程和表面增长模型;对于描述相变的随机Cahn-Hilliard方程， Da Prato等[8]利用经典的半群理论以及强Feller性质给出了方程弱解的存在惟一性，Cardon-Weber[9]给出修正温和解的存在惟一性，Wang[10-11]研究了带有不同随机项的解的相关性质，Duan[12]研究了S-H方程的随机形式,给出了解的存在惟一性等。

我们研究如下带有随机项的四阶抛物方程解的存在惟一性。

du+(uxxxx+uxx-u+u3)dt-dw=0

u(0,x)=u0(x), -l

u(t,-l)=u(t,-l),t>0

(1)

首先，通过变量替换，随机微分方程可以转化为确定方程，并在适当的空间利用不动点定理，建立局部解的存在惟一性，再根据解对初值和随机项的连续依赖，给出整体解存在惟一性结果。

1 预备知识

首先通过C(I)的闭包Lp(I),p=1,2，…，定义如下范数:

为了方便，令

H:=L2(I)

并考虑巴拿赫空间Lp(0,T;Lq(I))及其范数:

文中定义如下核心空间：

E：L6(0，T：L4(I))

由非线性项u3决定。

首先，给出如下结果。

引理1对于任何T>0，有

L(0,T;H)∩L2(0,T;V)⊂E

(2)

且存在一个常数K，与T>0无关，则有

‖u‖E≤K(‖u‖L(0,T;H)+‖u‖L2(0,T;V))

u∈E

(3)

证明 利用Sobolev嵌入定理,则

且存在一个常数C1>0,则

(4)

(5)

提高式(5)两边的阶数,并在[0,T]的区间积分,其中

下面的压缩映射定理是建立局部存在性的核心定理。

如果

F(0)=0

而且

对于

‖z1‖E≤a

‖z2‖E≤a

(6)

则方程

(7)

存在惟一的解z∈E,满足‖z‖E≤a。

引理3若A是一个在H上的负自伴算子

⊂H⊂V′

则A和S(t)=etA从V延拓到V′。

若

t∈[0,T],y0∈H,g∈L2(0,T;V′)

则

y∈L(0,T;H)∩L2(0,T;V)

对于L>0的某些常数，独立于T>0。

‖y‖L(0,T;H)+‖y‖L2(0,T;V)≤L(‖y0‖H+‖g‖L2(0,T;V′))

(8)

推论1对于A,S(t)和y0为引理3中的定义，我们得到

(9)

证明 使用式(4)、式(5)、式(8)以及u:=S(t)y0有

则式(9)成立，对于

2 局部解的存在惟一性

首先,建立局部解的存在惟一性，利用自伴算子A

Au:=-uxxxx-uxx-(c+1)u

(10)

注意A是一个严格的负自伴算子，可以通过负自伴算子定义(-A)a。定义域为

根据式(10)，式(1)可以重写形式

du=(Au-u3+cu)dt+dw

(11)

其中,Wiener过程中取值于可分的Hilbert空间H=L2(I)中,且其协方差算子为Q。

令

S(t):=etA,t≥0

利用随机积分定义wA(t)

(12)

利用变换

y(t,x):=u(t,x)-wA(t,x),t∈[0,T]，P.a.s

(13)

式(1)退化成为确定性方程

yt=Ay-(y+wA)3+c(y+wA)

(14)

满足

y(0,x)=u0(x)

y(t,-l)=y(t,l)=0

(15)

满足式(14)的解，y可表示为积分形式

(16)

y(t)=S(t)u0+F(y+wA)(t),t∈[0,T]

(17)

下面给出式(17)y解的存在惟一性，也就给出了式(1)的温和解的存在惟一性。

在式(17)中,F:E→E是算子的连续延拓。

F0:C1([0,T];V)→E

定义为

(18)

t∈[0,T]

其中

G0:C1([0,T];V)→E

定义如下

(G0u)(t)=-uux(t)+cu(t),t∈[0,T]

(19)

鉴于式(17)，并假设F是良定义的，关于应用引理2，我们给出了有局部解的存在性。

引理4G0定义如式(19)，可以连续延拓到

G:E→L2(0,T;V′)

并且满足

证明 令u,v,ψ∈L2(0,T;V),<.，.>表示L2(0,T;V)和L2(0,T;V′)二者之间的对偶映射，我们得到

由此推出另一个重要的结论。

引理5

(20)

证明 在F0定义于式(18)和引理3，得到

F(u)(t)=y(t;G(u))∈L(0,T;H)∩L2(0,T;V)

此外，从引理1有

‖F(u)-F(v)‖E≤K(‖y(.;G(u))-y(.;G(v))‖L(0,T;H)+

‖y(.;G(u))-y(.;G(v))‖L2(0,T;V))≤

KL‖G(u)-G(v)‖L2(0,T;V')≤

其中M2=M1KL。

定理1假设u0属于H，存在一个随机变量τP.a.s取值于(0,T]，使得方程(1)在区间[0,τ]上存在惟一解。

证明 利用

z(t)=y(t)+wA(t)-S(t)u0

式(17)可改写为

(21)

对

F(z)=F(z+S(t)u0)

则式(17)与式(20)等价。

令

通过τ1得到

(22)

K指在引理1、引理4和M的定义。

wA(t)是连续的且具有wA(0)=0。存在τ2使得

令

τ:=min{τ1,τ2}

并引入E

E:=L6(0,τ;L4(I))

其中Z1和Z2满足

‖Zi‖E≤a,i=1,2

利用引理4和式(9)，有

最后，应用引理2给出了z(t)的存在惟一性。

3 整体存在性

首先给出

推论2G的定义如引理4,则u,v∈E

(23)

引理6式(17)的解y(t)连续依赖初值u0∈H和随机项wA(t)∈E。

由引理2得到y0和y1∈L2(0,T;V),因此(y0-y1)(t)∈V,对几乎所有的t∈(0,T)。使用S(t)的连续性和引理5，存在常数L1和C1使得

L1‖u0-u1‖H+

利用Sobolev嵌入定理，存在y0和y1∈E，则存在常数C2和C3，使得

利用Gronwall不等式有

结论成立。

接下来，给出解的适当的估计。

引理7假设u0∈H,wA定义如式(12),并表示y的解

y(t)=S(t)u0+F(y+wA)(t)

t∈[0,T]

(24)

并且y满足

(25)

和

(26)

其中

以及

(27)

首先证明

(28)

乘以式(27)，通过y(t)整合，得到

(29)

得到一个下界‖yxx‖H，利用

则有

(30)

接下来考虑式(29)的第一积分项，有

(31)

则得出结论

下面定理给出了方程整体解的存在惟一性。

定理2对于u0∈H=L2(I)，方程(1)存在惟一解u(.,x)∈E,P.a.s.。

证明 对于区间[0;τ]，从定理1我们有解存在为u(.,x)∈E，P.a.s.。利用式(13)和引理6，我们得出结论为u(t,x)在E上有界。P.a.s.对于所有的t≥0，这意味着解决方程(1)整体解的存在性。

4 结 语

利用不动点定理研究了一个随机偏微分方程，给出了解的存在惟一性结果，能够为解决模型所表示的实际问题提供一定的理论基础。