吴竹月
解决问题是学生学习数学的基本形式。《人人关注数学教育的未来》指出:数学提供了有特色的思考方式,包括建立模型,抽象化、最优化、逻辑分析、从数据进行推断以及运用符号等,它们是普遍适用并且强有力的思考方式。因此,小学数学教学中,教师要授之以渔,有意识地“教会青年人去思考”,培养学生“有益的思考方式及应有的思维习惯”,把数学思考贯穿于解决问题的始终,引导学生在解决问题的同时,认识并逐步掌握数学思考方式,发展数学思维,为学生自主探索解决问题,实现可持续发展奠定坚实的基础。
一、形象化思考方式
有些数学问题数量关系比较复杂,题意不够直观清晰,可以借助形象化的直观图形把题中的条件和问题表示出来,再对照图形分析,从而发现题中的数量关系,寻找到解决问题的方法。
例1 一根铁丝剪去12米后,又用去了余下的,还剩下36米。这根铁丝原来长多少米?
分析:根据题意,可以画出如下线段图,将题中的条件和问题清楚地表示出来。从图中可以很容易看出:“用去余下的”后,“还剩下36米”相当于余下的(1-)=,根据数量关系“余下铁丝长×=36米”,可以列式求出余下铁丝长36÷=60(米)。所以,这根铁丝原来长60+12=72(米)。
二、动态化思考方式
有些数学问题静态思考,直接解决比较复杂,甚至难以解答,可以将问题中的某些条件或情境动态处理,用运动变化的观点去思考,在“动”中生成解决问题所需的条件,从而顺利解决问题。
例2 如下左图所示直角三角形ABC中,四边形DBEF是一个正方形。已知AF长10厘米,FC长15厘米,求图中阴影部分的面积。
分析:根据题中已知条件,无法直接求图中阴影部分面积。分析图中阴影部分两个三角形的角的度数及边的长度,就会发现可以利用动态化思考方式,将左上角阴影部分三角形绕F点逆时针旋转至DF边与FE边重合,这时阴影部分刚好是一个两直角边分别为10厘米、15厘米的直角三角形,由此可求出图中阴影部分面积是15×10÷2=75(平方厘米)。
三、特殊化思考方式
有些数学问题条件复杂,不易发现数量之间的关系,可以将问题中的某个一般化条件特殊化,由此得出一些关系和结论,与其他已知条件产生差异和矛盾,通过分析差异和矛盾的原因打开解决问题的思路,从而解决问题。
例3 学校五、六年级共有学生630人,五年级学生的与六年级学生的共408人参加学校社团活动。五、六年级各有多少学生?
分析:题中条件“五年级学生的与六年级学生的共408人”中的数量关系复杂,不易解决。可以特殊化为“五、六年级都有的学生参加学校社团活动”,由此得到参加学校社团活动的学生应该有630×=360(人),而实际“五年级与六年级共408人参加学校社团活动”,参加学校社团活动的人数相差408-360=48(人)。分析这个“差”的原因是因为把“六年级学生的”特殊为“六年级学生的”,少算-=。即“六年级×=48”,可以求出六年级学生有48÷=336(人),五年级学生有630-336=294(人)。当然,也可以特殊为“五、六年级都有的学生参加学校社团活动”,再寻找数量之间的关系来解决。
四、逆向化思考方式
解决某些数学问题,正向思考往往繁琐、复杂,甚至难以解决,而采取逆向化思考方式如同剥笋,逐层深入,往往容易发现数量之间的本质联系,使问题迅速得到解决。
例4 一批水果,第一天卖出总数的少10千克,第二天卖出余下的多3千克,还剩25千克没有卖。这批水果共有多少千克?
分析:从问题出发,以还剩25页千克没有卖为思考起点,进行逆向化思考比顺向思考要容易很多。还剩25千克是第二天卖出余下的多3千克后剩下的数量,因而第二天卖出余下的后应剩25+3=28(千克),所以第一天卖出总数的少10千克后余下的数量应当是28÷(1-)=70(千克)。进一步逆向思考,如果第一天刚好卖出总数的而不少10千克,就会余下70-10=60(千克),所以这批水果的总数应当是60÷(1-)=120(千克)。
五、模型化思考方式
有些数学问题比较复杂,却具有一定的规律性,可以先引导学生由简单入手,抓住问题的本质特征构造恰当的数学模型,再运用构造的数学模型来思考原来的数学问题,就会使问题顺利得到解决。
例5 用边长1厘米的小正方形拼成一个边长8厘米的大正方形,这个大正方形中共有多少个正方形?
分析:直接思考有难度,可以先思考简单情况:用边长1厘米的小正方形拼成一个边长1厘米、2厘米、3厘米、4厘米的大正方形,大正方形中分别有1个、1+4=5(个)、1+4+9=14(个)、1+4+9+16=30(个)正方形……观察思考不断变换的边长与大正方形中的正方形个数,可以发现随着边长的增加,每次都增加了边长的平方个正方形。通过这样的模型化思考,可以迅速得到这个边长8厘米的大正方形中共有1+4+9+16+25+36+49+64=204(个)正方形。
六、分类化思考方式
有些数学问题比较复杂,需要根据问题的实际情况进行分类思考,注意思考各类情况,再综合思考,使复杂问题变得简单,从而得到解决。
例6 把一个长8厘米,宽6厘米,高5厘米的长方体木块分割成形状、大小相同的两个长方体。表面积最多增加多少平方厘米?
分析:显然,无论从哪条棱分割,都比原来长方体多了两个分割面,但不同的分割方法,增加的表面积是不同的,不能直接求出分割后表面积最多增加多少平方厘米。题中没有说明从长、宽、高中的哪条棱进行,需要分三种分割情况(如下图)逐一解答:从长方体的“长”分割增加6×5×2=60(平方厘米),从长方体的“宽”分割增加8×5×2=80(平方厘米),從长方体的“高”分割增加8×6×2=96(平方厘米)。由此可得分割后表面积最多增加96平方厘米。
七、推理化思考方式
就是引导学生根据已知条件之间的关系,进行推理分析,逐步寻求未知问题的结论,从而解决问题。
例7 一个长方体,如果长减少2厘米,就成为一个正方体,这时,正方体的表面积是96平方厘米,原来长方体的体积是多少?
分析:根据“如果长减少2厘米,就成为一个正方体”可知,原来长方体的宽和高相等。又已知这时正方体的表面积是96平方厘米,由此可知正方体的一个正方形面的面积是96÷6=16(平方厘米),根据正方形的面积=边长×边长,可得到正方形的边长,即正方体的棱长是4厘米,原来长方体的长是4+2=6(厘米)。因此,原来长方体的体积是6×4×4=96(立方厘米)。
综上可见,学生数学思考方式是在解决问题的过程中逐步形成和积累的,需要教师有意识地引导学生体验所运用的数学思考方式,重视引导学生对思考过程进行回顾反思,提炼蕴含其中的数学思考方式,逐步领悟、积累和掌握其中的数学思考方式,提高学生终身可持续发展的能力。