挖掘教材资源 促进数学思考

李斌

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称新课程标准）把“数学思考”作为课程总目标具体阐述的四个方面之一。并明确指出：数学思考的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于数学思考目标的实现。而教材是学生学习知识技能的重要载体，是教与学的凭借。因此，着眼数学思考目标的实现，教师必须深入钻研教材，解读、拓展和挖掘教材所蕴涵的数学本质和思考元素，引导学生围绕数学知识的本质展开数学思考，促进学生对数学知识的理解，从而发展学生的数学思维能力，让数学教学更有内涵和深度，充满智慧。下面是笔者对“挖掘教材资源，促进数学思考”的思考与探索。

一、教学中学生数学思考面临的现实问题

1.重解决忽视本源——数学思考肤浅：方格背景的作用是什么？

教材为什么用“方格”背景？“方格”背景在“多边形的面积”内容中起什么作用？方格背景不只是图形直观转化的依据，也不只是引发猜想的引子以及直观验证的材料，而是承载着探究面积公式的“思想源”。面积计算本质上就是度量被测物体的表面或平面图形中含有多少个面积单位，面积公式是对度量过程的一种优化与抽象。然而，实际教学中，不少教师往往忽视关注学生能否将数长方形的方法“看一行有多少个，有多少行”迁移到数平行四边形中，从“纵横”两个维度思考度量平行四边形，为平行四边形的面积等于底乘高提供有意义的动作行为支撑。

2.重算法忽视算理——数学思考散点：如何看待“把小數点对齐”？

教学实践中，部分教师过于关注“小数点一定要对齐哦！”，而忽视“知识点”背后所关联的知识结构性，以及知识形成和发展过程中的内在逻辑，偏向于例题与习题等点状教学，导致学生孤立理解数学知识，数学思考散点，缺乏对知识本质及内在结构的整体性思考和理解。

3.重描述忽视价值——数学思考平庸：x=2是方程吗？

方程是代数知识的起始性知识，也是学生从算术思维飞跃到代数思维，分析思考现实生活中数学问题数量关系的重要载体。“含有未知数的等式是方程”仅是一种朴素的描写，并非方程唯一的内涵。这一定义简单明了，但它过于关注方程的显性特征，而对方程本质内涵揭示不够，有其不足。如学生列出方程28+130=x时，如果按其定义说就是一个方程，但它完全是算术思维，没有体现方程思想，没有关注方程概念的本质，把未知量看作已知量，思考已知量与未知量之间的等量关系。

4.重形式忽视本质——数学思考片面：三角形高的本质是什么？

不少学生受现实生活中垂直于水平线上竖着的高直观表象负迁移影响，习惯性认为三角形的高在铅垂线位置，竖着的垂线段就是高，很难理解从另外两个顶点作的高，忽视高与底的对应关系，不能真正理解三角形高的本质含义，认为高总是在三角形内部。

二、挖掘教材资源，促进学生的数学思考

1.捕捉细节钻研编写意图，让数学思考真正发生。教师要抓住教材的每一个细节，认真研读，深刻领会教材的编写意图，读懂主题图所蕴含的数学信息、数学知识的展开过程、情境中的提示语和留白、习题的功能和思考价值，“深入浅出”地用好、用活教材，引领学生开展学习活动，让学生的思维真正发生，促进课堂充满数学思考。

如，教学“乘法分配律”时，首先从现实情境引出数学问题，提供生活经验支撑，通过横向数学化，引导学生直观理解“分”别算和“合”组算两者总数相等，借助事理形象理解算理。但这样的具体情境注重乘法分配律外型结构特点，缺少对乘法分配律内涵本质把握，重视“是什么”，缺少“为什么”的追问，要逐步实现由具体情境数量之间关系上升到对抽象数之间关系的认识。然后，通过纵向数学化引导学生观察比较等号两边算式，从算式意义的角度发现算式的“形变意不变”，理解算式之间的内在联系，感知规律，并进一步举例验证，积累归纳素材，并通过纵向观察比较，归纳概括出乘法分配律。这样教学，学生不仅发现了乘法分配律的“外貌”，而且真正把握了乘法分配律的“内质”。

2.瞻前顾后钻研知识体系，让数学思考走向结构。数学学科知识具有很强的系统性和逻辑性。教师要从知识结构的整体出发，准确把握知识之间的内在联系，明确所要教学的内容在整个知识体系中的地位及作用，抓住知识的关键点，在教学中做到瞻前顾后，纵横融合，引导学生将新知识融入到原有的认知结构中，让学生的数学思考走向结构，帮助学生建构起完整准确的知识结构。

如，教学“小数的加法和减法”时，虽然整数、小数和分数加减法的知识点不同，但却有着内在的联系和系统性。因此，教师要抓住整数、小数和分数加减法的知识本质，即只有相同单位上的数才能相加减，促进知识的正向迁移，引导学生经历“算理——算法——应用”的思维过程，从而帮助学生领悟知识本源。教学“整数加减法”时，有意识地帮助学生理解，把相同数位对齐，就能保证几个一和几个一相加减，几个十和几个十相加减，初步感知只有相同数位上的数才能相加减。教学“小数加减法”，着重让学生理解“小数点对齐，所有的相同数位也就对齐，就能保证相同数位上的数相加减”。学习“分数加减法”，抓住单位思想，进行计数单位个数的累积，理解分数加减法的算法和算理，从而逐步形成稳固而系统的整数、小数和分数加减法的知识结构。

3.由表及里钻研知识本质，让数学思考走向深刻。第斯多惠说：“只有教给学生以最本质的、最主要的东西，才能切切实实地掌握这种教材，使它不可磨灭地铭记在学生的记忆里。”数学教学中，教师要高度关注数学知识发生、形成和发展的历史本源，由表及里地发掘数学知识的本质，让学生的数学思考聚焦于知识的本质内涵，深化学生对数学知识的理解和掌握，从而发展学生数学思维，提升学生的数学核心素养。

如，教学“方程”时，新课程标准强调方程的本质是刻画现实世界中等量关系的数学模型，表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式。方程的价值在于让学生初步体验方程思想，帮助学生从等号的程序观念到等号的关系观念，实现从算术思维到代数思维的过渡，建立代数思维。教学时，要通过逐层分类揭示“未知数”“等式”的方程显性特征，更重要的是由方程概念的“静态”描述向“动态”生成过程过渡，引导学生经历方程概念的产生、发展、形成和应用过程，理解更接近方程本质的内涵：在未知量和已知量之间建立的等量关系式，帮助学生深刻体会到方程是表示已知量和未知量之间相等关系的一种数学模型，感悟代数思想。

4.挖掘拓展钻研习题价值，让数学思考自然生长。数学习题是数学教材的基本内容之一，旨在通过习题巩固数学知识，发展思维能力。教师要深入钻研习题，深挖习题背后的丰富内涵和价值，捕捉数学思考生长点，根据实际需要对教材习题进行适度拓展和延伸，让学生的数学思考自然生长，在探究中沟通知识间的内在联系，从而获得对数学思想方法的深刻领悟，发展数学思维。

如，教学“多边形的面积”后，教师引导学生解决问题：下图1中，平行四边形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。

根据问题中的条件，难以直接求出每个三角形的面积，打破了学生的认知平衡，也诱发了学生进一步探究的欲望。教师在组织学生展开充分探究后，要进一步引导学生探索现象背后的知识本质，可以通过课件演示揭示数学问题形式的“变”与本质的“不变”（如图2），以平行四边形边上的任意一点为顶点，都可以把3个三角形转化成一个与平行四边形等底等高的三角形，得到这3个三角形面积的和总是等于平行四边形面积的一半。通过动态化图形变换，引导学生经历观察、思考、推理、分析、归纳等探索过程，让学生的数学思考自然生长，帮助学生学会从变中抓不变，从更一般的层面理解问题的本质，形成结构化的认识，加深数学理解，发展学生的数学思维。

总之，深入挖掘教材内容的数学本质，有利于促进学生的数学思考，把学生的思维不断引向深入，从而发展学生的数学思维能力，提升学生的数学核心素养。