谈谈混沌

刘玉颖 金仲辉 李顺烨

(中国农业大学理学院，北京 100083)

20世纪中叶，物理学从研究简单的线性系统走向复杂的非线性系统。复杂性科学作为一门新兴的学科已经涉足宇宙天体物理、地球科学、生命科学、人类社会等自然界出现的种种复杂现象。混沌论不仅适用于大到宇宙天体，小到微观粒子，而且适用于我们看得见、摸得着的世界，适用于与人本身同一尺度的研究对象，因而是应用范围更广的理论。自20世纪60年代洛伦兹(E．N．Lorenz)首先采用计算机数值法研究气象学的混沌(chaos)问题以来，对混沌的研究不断深入，混沌在学科上属于非线性动力学，是指在决定性动力学系统中出现的一种对初始条件极其敏感的随机性运动[1]。这种对初值的极端敏感性又称为“蝴蝶效应”。大学基础物理教学内容不包括“混沌”的内容，但是，如今“混沌”的研究已完全超出数学和物理学的范围，它在自然科学中的应用越来越广泛，甚至应用于许多社会学科。自然界有3种基本运动状态，混沌是其中之一，其余两种是大家熟悉的，即确定性运动状态和随机性运动状态。本文结合“相图”这一非线性动力学最基本的方法和洛伦兹方程组，简单地介绍混沌这一重要概念和运动状态，以丰富读者对“混沌”的理解和认识。

1 牛顿力学与决定论

在长达两千多年的科学史诗中，最华丽的篇章是牛顿力学的降临，他的《自然哲学的数学原理》的主体就是讨论万有引力定律，这是牛顿一生在物理学上最大的贡献。通过万有引力的发现，同一个规律决定了整个宇宙的运行，后可预测未来，前可反演过去[2]。在牛顿力学中，如果已知初始条件，对于有序系统我们可以预测其未来的运动状态。牛顿力学在天文学上的处理是最成功的，科学家可以准确预测宇宙飞船的着陆、行星运行的位置、日食月食何时发生等。牛顿力学的方法导致17、18世纪的科学家和哲学家采用决定论观点：认为宇宙是一个巨大的时钟，由初始的位置和动量可准确预测宏观物体和微观物体的将来。类似的，在量子的微观世界，我们可以预测电子在原子中某位置出现的概率以及放射性元素的半衰期。在有序系统中，不管是牛顿力学的宏观世界还是微观的量子世界，可预测性取决于初始条件[3]。

2 预测性的局限性

20世纪科学和技术的发展，人们看到尽管牛顿的方法可以预测简单系统的长期行为和复杂系统的短期行为，但在一些系统中仍存在着理论和实际的预测局限性。例如：人们不能准确预测简单系统的长期行为，其实际的局限性表现为人们不能准确确定初始条件，经过很长的时间，初始条件的微小误差也会引起计算结果的显著变化[4]。另外，宇宙中的每一个物体都与其他所有物体存在相互作用。人们在分析问题时，经常采用理想化模型，忽略非常微弱的作用力。但是，经过一段时间，非常微小的作用力也会产生显著的影响。例如太阳光的长时间累积效果会对小行星的运动产生影响。

另一种预测的局限性表现为对初始条件的极端敏感性，初始条件的微小差异导致物体运动行为结果的巨大变化，近些年科学家们发现，当初始条件发生极其微小的变化时，导致结果失去可预测性。系统内对两种可能出现的结果，它们之间的差异随着时间的增大呈指数变化，具有固有的不可预知性，这样的系统被称为“混沌系统”(chaotic system)。

3 混沌

“混沌”一词在中外文化中有着渊源悠久的历史。在古希腊，它的原意是事物生成前宇宙的原始空虚状态，在有序宇宙之前曾存在过的无序无形物质，即首先是混沌，然后才有大地和欲念；在我国，古人想象中的世界生成前的状态，“夫太极之初，混沌未分”。如今，“混沌”有了科学的定义，“混沌”是确定论系统所表现的随机行为的总称，它的根源在于系统内非线性相互作用。系统的运动敏感地依赖于初始条件，从而系统的长期行为具有不可预测性，即有“蝴蝶效应”。

为了对非线性运动的特征做出定性描述，法国数学家、物理学家庞加莱提出“相图法”，相图的描述方法是非线性力学中最基本的方法。相图法可表述如下：将质点的位置(或角位置)作为横坐标轴，将速度(或角速度)作为纵坐标轴，横纵坐标轴构成的平面为相平面。质点的运动状态对应相平面上的一个点，为相点。相点在相平面内的运动，称为相图[5]。区别于位移-时间、速度-时间曲线来描述运动，在相图里失去位移、速度随时间变化的信息，但是可以得到动力学系统运动的全局信息，给出其轨线形态类型及其稳定性问题。相图自19世纪庞加莱提出以来，至今有着深远的影响[1]。

对于非线性振动系统，系统的稳态反应与驱动力间不再有线性关系。例如对于单摆和倒摆，在给定能量时运动都是确定的，但都存在不稳定的平衡点，对应着相图中的(双曲点或鞍点，图中曲线相交的点)(图1)。假定存在阻尼或驱动力，摆做受迫振动，图1中双曲点的存在，预示着混沌运动的可能[1]。在一定的参数下，在单摆和倒摆的受迫振动中，会出现混沌运动。混沌运动的相轨则趋于非常复杂的吸引子，叫奇怪吸引子或混沌吸引子。

图1 单摆的相图，双曲点的存在，预示着混沌运动的可能

1903年法国数学家庞加莱从动力学系统和拓扑学出发，指出可能存在混沌特性，从而成为世界上最先了解存在混沌可能性的人。随后有不少数学家开始研究混沌理论。混沌所以成为大众知晓的名词，这与美国气象学家洛伦兹(E.N.Loreng)的工作有很大的关系；静止的黏性流体，当温度不均匀时它将如何运动？20世纪60年代洛伦兹研究的两无限平面间流体的运动，提出一个简化到只有3个变量的描述大气对流的非线性微分方程组上述方程组中不包含任何外加的随机变量，其中，x变量与对流强弱有关；y变量与水平方向温差有关；z变量与垂直方向温差有关；σ、γ、b为3个参数，σ=10，b=-8/3，γ取值可变化。方程可具体表示为[6]

(1)

(2)

图2 洛伦兹奇怪吸引子[7]

上述方程组没有解析解，洛伦兹利用计算机计算气候的演变情况。他用两组差别极小的初始值(第二组采用的初值仅比第一组少最后一位有效数字)，进行两次重复计算，发现随着计算的时间进程的推进，两次计算结果的差别越来越大，最后导致完全没有相似之处，洛伦兹用计算机求解这组方程算了3000步，在开始的1000 步，有点像周期解，随后却越来越看不出规律，在2000步以后，变为毫无规律的混沌。计算结果在相空间表现为围绕两个环来回转圈。这种现象被后人称为奇怪吸引子(图2)。在洛伦兹之前，人们由于只了解平面上的运动，对吸引子的了解仅限于平衡点、极限环等少数类型。由于洛伦兹方程的引进，使人们看到了以前没有见过的吸引子，所以称为奇怪吸引子[6]。这样的结果大大出乎人们的预料，比想象的复杂得多。这个方程也由此而出名，被称为洛伦兹方程。

洛伦兹奇怪吸引子是最早发现的一类向混沌转化的例子。这种对初始条件的灵敏现象被形象地称为“蝴蝶效应”，它来自洛伦兹的一次演讲，“在巴西热带雨林中的一只蝴蝶扇动了一下翅膀，可能会在德克萨斯引起一场龙卷风”。反过来理解这句话，就是蝴蝶不扇动翅膀就不会引起龙卷风。蝴蝶扇不扇翅膀对大气对流来说显然是一个差别极小的初始条件，但导致的结果却有着巨大的差别，正所谓“差之毫厘，失之千里”。今天人们谈到“蝴蝶效应”时通常指非常微小的条件差异会产生巨大的影响效果。“蝴蝶效应”，这个名词的起源可能与下面的故事不无关系。在洛伦兹即将成为一名气象专业学生的那年圣诞节，他的姐姐送给他一本名为《风暴》的书，书中叙述了一位在中国的老人打了一个喷嚏，在美国纽约就引发了一场大雪。

自然界有3种基本运动状态，混沌是其中之一，其余两种是确定性运动状态和随机性运动状态。自从牛顿以来，科学界形成一种任何复杂的自然现象都可以用一组确定的方程来描述，物体的运动完全包含在这组方程和初始条件中，只要知道初始条件，就可确定地预言物体的未来和追溯它的过去。法国数学家拉普拉斯是牛顿的崇拜者，是“决定论”思想的代表者，他曾宣称：只要知道初始条件我就可以决定未来的一切，确定性运动状态的特点就是对初始条件不是很敏感的。自然界也存在着各种各样的随机性运动状态，例如骰子的滚动、气体分子的运动、山溪的奔流等。在山溪的奔流中，不管我们已知水面上漂浮的小物块的初始条件多么精确，我们不能预测其运动到下游的准确位置；这种不可预测的性质表明不存在确定的因果关系，即具有随机性的因素。19世纪玻尔兹曼奠定了气体动理论基础，阐明了大量分子组成的体系行为的随机性质，显然个别分子的行为难以预测，但大量分子组成的气体行为在统计上是可以预测的。在20世纪初量子力学产生后，人们认为在微观世界里，确定论不适用，但是在宏观力学中，确定论还是绝对正确的。混沌系统的特征在于初始条件的微小差别导致结果的巨大变化。由以上叙述可知，混沌打破了确定论和随机论这两套描述体系之间的鸿沟，在这两套描述体系之间架起了一座桥梁。现在人们开始认识到在经典力学的范围内也可以出现随机现象。混沌现象的存在，意味着精确预测能力受到一种新的根本性限制，它彻底破除了拉普拉斯式的决定论观念。所以人们把混沌的发现认为是科学在20世纪的重大进展[6]。

4 结语

本文结合相图和洛伦兹方程组简要介绍了混沌运动特点，混沌与确定性运动状态随机性运动状态的区别。混沌现象的随机性不是来源于系统中包含大量分子的那种随机性，而是来源于非线性系统中微小差异的增长量是按指数增加的方式进行的，从而具有对初始值敏感的行为。混沌研究表明，现实世界更多的是一个有序与无序相伴、确定性与随机性统一、简单与复杂一致的世界。由于混沌的发现，使人类对客观规律认识有了一个飞跃。新的观念正在把科学家的热情引导到探索复杂的非线性领域，大大丰富了人们对于事物演化的认识。混沌现象研究建立起来的新概念正在进入物理学、天文学、生物、地学、医学等自然科学和一些社会科学的领域。目前生命科学和医学中已经有很多方面应用混沌理论进行研究，例如，生态学中的混沌、神经系统中的混沌、心脏节律的混沌、脑电信号混沌控制、激光诱导的DNA分子混沌态的量子模型简介、蛋白质的混沌态等。混沌理论应用发展最快的领域还应属生物医学领域[8]。

有趣的是，混沌不是毫无预测的，在混沌系统中，也具有规律性的模式。也就是说，混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性变化和其他明显对称特征的有序态[8]；在混沌中具有有序性。科学家们已经能够从数学上处理混沌系统并且发现其有序的部分。混沌现象和许多物理现象一样，既存在有害的一面又存在有利的一面。所以如何避免混沌的弊端而利用它有益的一面，需要进一步研究混沌理论，从而达到控制混沌的目的。总之，混沌为我们展示了广阔的应用前景。