“真空炮”发射速度的研究

刘晨晨 阿禧达 曾 威 刘 伟 史庆藩

(北京理工大学物理实验中心，北京 100081)

“真空炮”是一种以气压差作为弹丸发射动力源的装置。主要有3种用途[1]：一是通过实现长时间匀加速直线运动，用来模拟导弹火箭等的发射环境；二是能得到确定的出射速度用于终点实验或其他实验；三是作为研究空气动力学的一个简单模型，比如2017年IYPT中即要求学生用吸尘器作为抽气装置研究“真空炮”的最大速度。“真空炮”结构简单，操作方便，实验较为安全，可研究参数多，涉及空气动力学的知识全面，因此可作为大学生学习空气动力学的一个典型的实验模型。

本文以“弹丸”的出射速度为研究的对象，对影响出射速度的主要参量如“炮筒”的长度，“弹丸”的横截面积、形状、质量分别进行实验探究，并通过分析“弹丸”的运动过程建立空气动力学模型，使得该模型能够反映出“弹丸”出射速度与“弹丸”及“炮筒”参量的依赖关系。最后将试验与理论进行对比分析，证明了理论模型的合理性。

1 实验系统

本实验所用到的实验系统装置为：抽气装置为工业3200W功率可调吸尘器，最大长度为2m，内径为44mm的透明PC管，真空度测量仪，不同材料、形状、质量的“弹丸”，Phantom V7.3高速摄像机，电子分析天平，热熔器，锡箔纸，真空密封胶，气球等。

实验装置如图1所示。

图1 实验系统

将“炮筒”透明PC管用塑料泡沫固定在桌面上，出口处连接“三通”的一端，正对一端作为“真空炮”的出口，另一端连接吸尘器的入口。用热熔器将连接处密封。在PC管上接近出口的部位钻一个小孔，用于与真空度测量仪连接，连接处用真空密封胶密封。将“炮弹”放置在入口处，用锡箔纸将出口处密封，用绷紧的气球膜将入口处密封[2]。将高速摄像机对准出射口，并通过PCC软件采集视频。

图2 TRACKER跟踪“弹丸”射出轨迹

实验操作步骤：固定好装置，打开吸尘器开关，并将“弹丸”处于入口处与气球膜接触，待真空度测量仪的示数稳定之后，用尖锐的物品捅破气球膜，气流从入口进入，推动“弹丸”在“炮筒”内加速运动，最终冲破出口处的锡纸膜发射。用TRACKER跟踪视频中“弹丸”出射后一小段时间的运动，如图2，分析计算得到出射速度。

2 实验结果

2.1 “弹丸”形状的影响

考虑到摩擦力和空气阻力的影响，选取圆柱形、球形和子弹头形作为研究对象。实验材料为底面直径40mm，重量20.25g，材质为ABS树脂的球体和子弹头体。其他参量为：“炮筒”为长度1m、内径45mm的PC塑料管，真空度为0.23MPa。每组实验重复8次，每次实验数据进行5次分析，求出平均值。实验数据用ORIGIN处理，如图3。

图3 不同形状“弹丸”射出的平均速度

由图可知，不同的“弹丸”形状会对“炮弹”的出射速度有一定的影响，我们从定性的角度对这一因素进行理论分析。首先，圆柱形“弹丸”由于其“头部”较平，冲破锡纸时损失的能量较大，因此出射速度会明显小于球形和子弹头形的弹丸速度，如图3中的数据显示。其次，在生活常识中，炮弹一般被做成子弹头形，因为其尖锐的头部可以比较容易地穿过障碍物，从而减少能量的损失，但是在该实验中，由于“弹丸”的速度远远不及实际应用中的炮弹速度，并且，“炮筒”的内壁也没有设置能够让“弹丸”保持头部朝向稳定的“膛线”，因此在气流的作用下，实验中观察到子弹头形“弹丸”在运动过程中会由于朝向的不稳定而与“炮筒”内壁不断地发生摩擦碰撞，损失较多的能量，因此速度会有所降低。故在本实验中球形“弹丸”是最佳的选择。

图4 “弹丸”质量与出射速度的关系

2.2 “弹丸”质量的影响

为探究“弹丸”的质量对“弹丸”发射速度的影响，控制其他参数如：“弹丸”为外径为40mm的ABS树脂球；“炮筒”是长度为1m、内径45mm的透明PC管。改变“弹丸”的质量并进行8次试验，对每组视频进行5次数据分析，得出平均值。实验数据如图5中黑色数据点(浅色曲线是理论曲线，具体形式见第3节理论计算)。

池州市地处暖温带与亚热带的过渡地带，属北亚热带湿润性季风气候区，气候温和，雨量适中，光照充足，四季分明。

图5 “炮筒”长度与出射速度的关系

通过图像分析：“弹丸”的发射速度随质量的增大呈现减小的趋势。

2.3 “炮筒”长度的影响

为探究“炮筒”的长度对“弹丸”发射速度的影响，控制其他参数如：“弹丸”为质量20.25g，外径为40mm的ABS树脂球；“炮筒”为内径45mm的透明PC管。逐渐缩短“炮筒”长度，每个长度进行8次试验，对每组视频进行5次数据分析，得出平均值。实验数据如图6中深色数据点。

图6 “弹丸”的横截面积与出射速度的关系

通过图像分析可得：“弹丸”的发射速度随“炮筒”长度的增大而增大。

2.4 “弹丸”横截面积的影响

为探究“炮筒”的横截面积对“弹丸”发射速度的影响，控制其他参数如：“弹丸”为质量20.25g的不同横截面积的ABS树脂球；“炮筒”长度为1m、内径为45mm的透明PC管。控制其他参量不变，改变“弹丸”的横截面积，每组实验重复8次，对每组视频进行5次数据分析，得出平均值。实验数据如图4中深色数据点：

通过数据点的趋势可以看出，发射速度随“弹丸”横截面积的增大而增大。

从实验过程分析，“弹丸”冲破出口处的锡纸时会损失一部分能量，导致速度减小，为计算损失能量的大小，我们设计了一系列实验，让质量为20.23g的ABS树脂球以不同的速度撞击出口处的3层锡箔纸，发现当小球速度约3.487m/s时，小球刚好冲破锡箔纸.因此损失的能量约为0.123J。

3 理论分析

首先根据实验条件以及合理假设建立物理模型，然后对“弹丸”的运动过程进行动力学分析，再将计算结果与实验数据进行对比以检验物理模型的正确性。

3.1 物理模型

为了建立物理模型，需要抓住主要因素忽略次要因素对运动过程进行适当简化，首先考虑空气阻力的影响，根据空气阻力的计算公式

(1)

FW=NW×N

(2)

并考虑到橡胶与塑料的滚动摩擦系数NW范围是0.01～0.1[3]，且“弹丸”对“炮筒”壁的压力N约为0.05N，可以得到滚动摩擦力FW约为0.0005～0.005N，由于压强差产生的推动力约为28.9N，二者相差5～6个数量级，因此可以认为“弹丸”运动过程中所受到的摩擦力可忽略不计。另外假定发射过程中小球与入口之间的空气压强P0恒定,且为一个大气压；发射过程中小球与出口之间的空气压强P恒定；发射过程中管内温度恒定且与外界气温相同；吸尘器抽气的功率恒定；“弹丸”为不可形变小球。

3.2 理论计算

为简明起见，实验系统的示意图如图7所示。

图7 实验系统示意图

当“弹丸”两侧空气压强不相等时，大气压强会成为推动小球运动的动力源。以从管口到“弹丸”的气体和“弹丸”为研究对象进行分析，单位时间内在压强差的作用下进入一部分气体，该过程中根据牛顿第二定律

F=ma

(3)

此式中，F代表“弹丸”以及气体在运动过程中所受的力;m为“弹丸”和该部分气体的质量;a为“弹丸”和气体的加速度。由压强公式

F=(P0-P)S

(4)

此式中，P0代表大气压强;P代表“炮筒”内压强;S代表“弹丸”的横截面积。该模型中由于压强差是恒定的，因此存在极限速度vmax。在极限速度下，由动量定理[4]

Fdt=d(mv)=vmaxdm+mdv=vmaxdm

(5)

解得极限速度为

(6)

此式中，ρ代表空气密度。在非极限速度下由动量定理得

(P0-P)Sdt=ρSdx+(m0+ρSx)dv

(7)

联立代入初始条件可得v关于“弹丸”运动的距离x及S,P的函数，如下：

(8)

此式即为该模型的函数表达式。

但是考虑到实际情况中锡箔纸的阻挡作用，应对该物理模型进行修正，因损失能量而减小的速度Δv可表示为

(9)

其中W代表损失的能量为0.123J，修正之后的理论模型可表示为

(10)

理论模型中出射速度v随x,S,P,m变化的计算结果如图4、5、6中的浅色曲线所示，通过实际数据点与理论曲线的对比可以看出二者符合非常好。但是在v-S图像中，当S较小时，理论与实际差别较大，这是由于空气从“弹丸”与“炮筒”之间的空隙进入导致P的变化，因此在实验允许的条件下应尽量选择直径接近“炮筒”内径的“弹丸”。

4 结语

本实验通过简单易行的实验装置定量地研究了多种因素对“真空炮”发射速度的影响，并以此为基础建立了合理的理论模型，为“真空炮”及类似的真空发射装置的发射速度的理论计算提供参考依据。“真空炮”实验作为大学生研究空气动力学的一个简单模型，相比于其他空气动力学的研究条件，比如风洞，该方法简单易操作且安全系数高。若进行深层次研究，则可以考虑更多的影响因素，比如考虑管内压强P的变化、空气密度的变化以及气体粘滞力的影响等等[5]，同样体现了物理本质的研究是逐渐深入，循序渐进的过程。