狭义相对论时空观的教学探讨

何春山

(中山大学物理学院，广东 广州 510275)

相对论原理的应用越来越广泛，掌握狭义相对论的基本理论是应用的基础[1,2]。狭义相对论的教学是大学物理课程中的一大亮点，也是一大难点。大学一年级学生在经历了若干年的牛顿力学熏陶后，突然进入到一个与高速相关的新的时空世界，非常兴奋，然而，由于受牛顿绝对时空观的影响太深，在理解爱因斯坦的狭义相对论时空观时，常常感到吃力，解决问题也不能得心应手。本文从最基本的原理入手，以两道非常典型的与时空和速度相关的习题为范例，分别在相对静止的K系和运动的K′系中来求解同一与时空相关的问题。

1 狭义相对论基本原理

在爱因斯坦在1905年提出狭义相对论的文章《论动体的电动力学》里，给出了两个原理(或称“假设”)，即相对性原理和光速不变原理[3]。相对性原理指的是物理定律在一切惯性参考系中都具有相同的数学表达形式，也就是说一切惯性系中物理现象的描述都是等价的；光速不变原理指的是在彼此相对作匀速直线运动的任一惯性参考系中，所测得的光在真空中的传播速度都是同一个常数c，它表明光在真空中的传播速度与光源和观察者的运动无关[4]。需要特别指出的是，狭义相对论的同时性是基于光速不变原理；正是因为它，爱因斯坦给我们展现了一个精彩的、有别于牛顿绝对时空观的狭义相对论时空观。光速不变原理可得到同时的相对性，确定不同惯性系之间的时间关系，进一步可推导得到洛伦兹变换，而不是反过来理解，这一点初学者要特别引起重视[5-7]。虽然洛伦兹最先得到时间与空间相关联的洛伦兹变换形式，但是那个形式实质上不是狭义相对论的洛伦兹变换。只有将狭义相对性原理与光速不变原理结合在一起进行推导，才能得到狭义相对论的洛伦兹变换，爱因斯坦先后以两种不同的方法推导得到了这种变换关系[8，9]。

2 洛伦兹变换形式

设坐标系K′(O′x′y′z′)以速度v相对坐标系K(Oxyz)的x轴正方向运动，x轴与x′轴重合，t′=t=0时，原点O与O′也重合，则洛伦兹正变换和逆变换形式分别为

进一步推导可得到相对论速度的变换公式为

3 狭义相对论时空观

由式(3)可知，如果在K系不同地点同时发生了两个事件，由于Δt=0，Δx≠0，从而Δt′一定不为零，因此在相对于K系运动的另一个惯性系K′中观测，这两个事件不同时发生，因此同时具有相对性意义。只有在同一地点，同一时刻发生的两个事件，在其他惯性系中才同时发生。狭义相对论的时空观可表述如下：

1) 对于发生在不同惯性系的两个事件而言，它们的空间关系是相对的，时间关系也是相对的，只有将空间和时间联系在一起才有意义；

2) 时、空不再相互独立，需满足洛伦兹变换关系；

3) 光速c是建立不同惯性系间时空变换的纽带。

4 典型习题分析

4.1 习题一

一只装有无线电发射和接收装置的飞船，正以4c/5的速度飞离地球。当宇航员发射一无线电信号后，信号经地球反射，60s后宇航员才收到返回信号。求：

1) 在地球反射信号的时刻，从飞船上测得的地球离飞船多远？

2) 当飞船接收到反射信号时，地球上测得的飞船离地球多远？

1) 在K′系(飞船上)中测量，宇航员是静止的，地球以4c/5的速度远离他而去，他发出的无线电信号以光速c去追地球，信号碰到地球后被地球瞬间反射回来，再被宇航员接收到。显然无线电信号一来一回所走过的路程相等，所用的时间也相等，都为30s。因此在地球反射信号的时刻，从飞船上测得的地球离飞船的距离为c×30=9×109(m)。

得到的Δx就是飞船接收到反射信号时，地球上(K系)测得的飞船离地球的距离。

解法二。在K系(地球上)观察，飞船存在3个特征时空点，如图1所示。飞船在时空点(x1,t1)向地球发出一个无线电信号(浅色箭头)，当信号到达地球的瞬间，飞船到达时空点(x2,t2)；信号被地球反射后，反射信号(深色箭头)在时空点(x3,t3)追上飞船并被宇航员接收。

图1 K系中观察，飞船经历的3个特征时空点

宇航员发送和接收信号这两个事件在K′系中是同一地点先后发生的事情，即有

利用式(4)得Δt=t3-t1=γΔt′=100(s)，即在K系中观察，信号的收发时间差为100s。从图1可看出，从无线电信号被地球反射到被宇航员接收，信号所行进的距离正好等于飞船所在的时空点(x3,t3)离地球的距离。据此可列出一个方程

1) 地球反射信号的时刻，飞船处于时空点(x2,t2)，飞船与地球之间的距离x2在K系中是同时测量的，因此Δx=x2=18c(m),Δt=0(s)，利用式(3)可得Δx′=γΔx=30c=9×109(m)。

2)x3=90c=2.7×1010(m)即为飞船接收到反射信号时，地球上测得的飞船离地球的距离。

4.2 习题二

地球上的观察者发现一只以速率0.6c向东航行的宇宙飞船将在5s后同一个以0.8c速率向西飞行的彗星相撞。求：

1) 飞船中的人们测得彗星以多大速率向他们接近。

2) 按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来航线避免碰撞。

解1) 设地球为K系，飞船为K′系，由题设条件得v=0.6c,ux=-0.8c，利用式(5)可得到

解2)解法一。在K系中分析。以地球上发现飞船经过某地，飞船和彗星相隔一段距离(并将于5s后相撞)为事件1，以地球上发现飞船和彗星即将相撞为事件2。这两件事对K′系(飞船)来说是在同一地点先后发生的，因此Δx′=0。利用式(4)得Δt′=Δt/γ=4(s)。

Δx=(0.6c+0.8c)×5=7c(m)

该结果与解法一的结果不一致，问题出在哪里呢？

5 结语

本文通过对两道典型的与狭义相对论时空有关的范例的分析，详尽地讨论了在K和K′两个参考系中进行求解的方法。相互印证，增强理解，使学生更容易掌握解决狭义相对论时空问题的方法。强调了用相对论速度求解时空问题时同时性的重要性，有助于初学者深入理解狭义相对论的时空观。