立足数学本质 实现有效教学

华佳

摘 要：教师在设计习题时，把内容相近、数学思想方法相同、解决问题方法相似的习题放在一起进行类比教学，让学生在类比中对数学解题思路不断加深、提高、开拓，从而优化学生的数学思维品质，提升解决问题的能力.

关键词：类比；数学教学；解题

数学学习经常对典型的题目进行探索和研究，通过类比（变换题目条件，改变图形结构，挖掘问题的结论，从特殊推广到一般，将静态图动起来），把蕴含在题目中的数学思想方法揭示出来，挖掘出问题中的隐含条件，从而达到“做一题，通一类，会一片”解题境界[1].学生从中能够获取研究问题的有效方法，激活数学思维，提升探究问题、解决问题的能力.

一、由表及里的类比性习题

函数的性质与解不等式之间也有微妙的联系.有的题表面上是要求你求解不等式，实际上往往通过函数的性质对不等式进行适当的变形，把括号去掉，这样问题就迎刃而解.

例1 已知函数[f（x）=（12）x-2x]，不等式[f（2m-mcosθ）+f（-1-cosθ）

分析：可以证得[f（x）]是奇函数，并且在R上单调递减，[2m-mcosθ>1+cosθ]对任意的[θ∈0，π2]恒成立.分离变量得[m>1+cosθ2-cosθ]对任意的[θ∈0，π2]恒成立，即求[y=1+cosθ2-cosθ]的最大值，通过换元，分离常数可求出最大值为2，所以m>2.

评注： 很多学生把[2m-mcosθ]，[-1-cosθ]代入函数解析式，进行解不等式，这样计算量很大且很难解决.我们在解决问题时要透过现象看本质，这题考查的是函数的单调性和奇偶性，利用性质进行求解，让人豁然开朗，提高学生思维的灵活性和深刻性.

练习：已知函数[f（x）=x2+2x，x∈R，]则不等式[f（2x-1）≤f（1）]的解集为多少？

该题和例题是类似的解法，发现函数的奇偶性以及单调性〔容易看出函数是偶函数，在[（0，+∞）]是增函数，在[（-∞，0）]是單调减〕，利用性质就可以求解了.

二、由此及彼的类比性习题

椭圆与双曲线定义差别就在“和”与“差”上，所以两者在定义、标准方程的形式、几何性质以及研究的方法等都存在很多相似之处.我们先研究椭圆的几何性质，然后通过类比得到双曲线的一些性质，感受两种曲线的和谐统一.

例2 问题1：已知A是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上〔异于长轴两顶点 B（-a，0），C（a，0）〕的任意一点，则点A与长轴两顶点B，C连线的斜率之积为多少？

分析：设[A（x0，y0）]，则点A与长轴两顶点B（-a，0），C（a，0） 连线的斜率之积为[y0x0+a?y0x0-a=y20x20-a2]，将[y20=b2a2（a2-x20）]代入就可以得到斜率之积为定值[-b2a2].

类比将上面题中的“椭圆”改成“双曲线”，就可以得到下面一个习题：

已知A是双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上〔异于长轴两顶点 B（-a，0），C（a，0）〕的任意一点，则点A与长轴两顶点B，C连线的斜率之积为多少？

分析：这个问题和上面的例题是类似的求解，可得斜率之积为定值[b2a2].椭圆与双曲线定义相近，它们之间可以设置很多相类似的习题，解决这些问题的方法也是相类似的，连最后的结论也有很多相似或相同的地方.

再通过类比，把例题中的“异于长轴两顶点 B（-a，0），C （a，0）”换成“经过原点的任意一条弦”结论是否成立？

分析：设[A（x0，y0）]，直线与椭圆相交于B（[x1，y1]），C（[-x1，-y1]）两点，点A与两交点连线的斜率之积为[y0-y1x0-x1?y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21]，将[y20=b2a2（a2-x20）]代入就可以得到斜率之积为定值[-b2a2].双曲线也是用类似的求解方法，可以得到相类似的结论，可以得到斜率之积为定值[b2a2].

三、 解题方法相似的类比性习题

高中数学习题量大，题目繁杂，然而对于一类习题，它考查的思路是不变的.通过不断的学习和总结就会找到相互之间的关联，归纳得到一类数学题的解题思路.

例3 已知圆O：[x2+y2=1]，直线[l：ax+y=3]，若直线[l]上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得[∠APB=60°]，求实数a的取值范围.

分析：通过图象可知OP的长度是2，由圆的定义可知，动点P到定点O的距离等于定长2的点的轨迹是圆，所以点P的轨迹方程为[x2+y2=4].直线上存在点P，所以直线与圆有交点，转化为直线与圆的位置关系，这题就迎刃而解了.

练习1：已知圆[C：x-32+y-42=1]和两点[A-m，0]，[Bm，0m>0]，若圆上存在点[P]，使得[∠APB=90°]，则[m]的取值范围为多少？

分析：由题意，圆上存在点[P]，使得[∠APB=90°]，即AP[⊥]BP，由此可得出点P的轨迹方程为x2+y2=m2，圆C上存在点P，所以两圆有交点，转化为圆与圆之间的位置关系，就可以解决.这题虽然没有直接出现圆的定义，但是和例1的思路是一样的，求出点P的轨迹方程是圆.

练习2：在平面直角坐标xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圆（x-a）2+y2=1上存在唯一点P满足[PAPB]=[12]，则实数a的取值集合是多少？

分析：由[A]，[B]为定点[PAPB]=[12]可知，动点P的轨迹是阿波罗尼斯圆，它是圆的另一种形式.然后转化为两圆相切，进行求解.

练习3：在平面直角坐标系[xOy]中，已知点[A（-2，0）]，点[B]是圆[C：（x-2）2+y2=4]上任意一点，点[P]为[AB]中点.若点[M]满足[MA2+MO2=20]（其中[O]为坐标原点），则线段[PM]长度的取值范围为多少？

分析：由[MA2+MO2=20]可得出动点M的轨迹是圆，轨迹方程为（x+1）2+y2=9，点P的轨迹方程为x2+y2=1，求线段[PM]长度的取值范围就是两圆上两点之间的取值范围.

由例3、练习1、练习2、练习3四题都可得出轨迹为圆的几种常见表现形式：（1）到定点距离是定长：[PA=r]（[P]为动点，[A]为定点）；（2）到两定点连线垂直：[PA⊥PB]（[P]为动点，[A]，[B]为定点）；（3）到两定点距离之比是不为1的定值（阿波罗尼斯圆）：[PAPB=λ（λ≠1）]（[P]为动点，[A]、[B]为定点）；（4）到两定点距离平方和为定值：[PA2+PB2=k]（[P]为动点，[A]，[B]为定点）. 这几类问题都是把圆的轨迹方程求出来，然后转化成直线与圆、圆与圆的位置关系，问题就容易解决.学生在以后解题过程中看到这些表现形式就知道是圆方程，求出方程问题就迎刃而解了.

四、同一概念下不同属性的类比性习题

知识求连，方法求变，问题求活.学生的认知发展是有规律的，类比教学是学生获取知识本质、数学思想方法和解题思维能力的有效途径.

例4 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足[OP=OA+λ（AB+AC）]，[λ∈0，+∞]，则点P的轨迹一定通过△ABC的什么心？

分析：取△ABC边BC中点D，[OP-OA=λ（AB+AC）=2λAD]，P为公共点，所以A，P，D三点共线，所以点P过[△]ABC的重心.紧紧抓住△ABC重心是中线的交点这一属性.

类比上述例题，O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足[OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|）]，[λ∈0，+∞]，则动点P的轨迹通过[△]ABC的什么心？

分析：式子变形为[AP=λ（AB|AB|+AC|AC|）]，根据单位向量[AB|AB|]，[AC|AC|]，可知点P在[∠A]的平分线上，又[λ>0]则知点P经过[△]ABC内心.这道题目考查了向量的合成和分解、单位向量以及数量积的知识，具备一定数的形结合能力，注重知识间向量与三角形知识间的联系.

类比：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足[OP=OA+λ（AB|AB|sinB+AC|AC| sinC）]，[λ∈0，+∞]，则动点P的轨迹通过[△]ABC的什么心？

分析：这题关键是触发学生对结构[|AB| sinB]、[|AC| sinC]如何理解和突破，可以引导学生联想到正弦定理.由正弦定理知[sinB=|AC|2R]，[sinC=|AB|2R]，代入后可得[AP=2Rλ|AB|?|AC|（|AB|+|AC|）]，可知点P在BC边的中线上，结合图形可知点P的轨迹过三角形的重心.

波利亚曾经说过：“类比是伟人的领路人.”类比性习题教学引导学生观察、探究、推理，感悟数学思想方法的概括内化过程，唤醒学生认知的内驱力，获得对问题的深度认识，形成有效的学习策略[2]

参考文献：

[1]吴成强，程胜.类比性习题设计的实践与研究[J].中学数学杂志，2014（5）：18-20.

[2]徐春波.备课环节中注重变式和类比能力的建构[J].新課程学习，2011（1）：171-172.