空间几何体中几种常见的补形法

谭泽仁

【摘要】高考数学中，立体几何是培养学生的空间想象力的主要素材，也是学生学习的难点，因此在实际教学中，寻求有效的培养学生空间想象力的方法和途径，是摆在一线教师面前一个很现实的问题.本文将对空间几何体中几种常见的补形法予以全面分析，帮助学生树立空间模型与思想，巧妙破解空间几何体中的难题.

【关键词】高中数学；立体几何；补形法

补形法是数学中一种常用的独特方法，通过补形能够发现未知几何体与已知几何体的内在联系.这种方法蕴含了一种构造思想，同时也反映了对立统一的辩证思想.

利用补形法解决立体几何问题的基本步骤是：

第一步：把不熟悉的或复杂的几何体延伸或补加成熟悉的或简单的几何体，把不完整的图形补成完整的图形；

第二步：运用常见几何体的知识等计算结果；

第三步：得出结论.

在高考中，补形法既可以在选择填空题中体现，也可以在解答题中体现，常见的补形法有对称补形、联系补形和还原补形，还原补形主要涉及台体中“还台为锥”.下面结合实例进行剖析：

方法一对称补形

例1（2015·唐山模拟）如图1所示，△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5.则此几何体的体积为.

【常规解法】如图2所示，取CM=AN=BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.

由題知三棱柱ABC-NDM的体积为

V1=12×8×6×3=72.

四棱锥D-MNEF的体积为

V2=13×S梯形MNEF·DN=13×12（1+2）×6×8=24，

则几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.

【补形法】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′=BB′=CC′=8，所以V几何体=12V三棱柱=12×S△ABC·AA′=12×24×8=96.

【小结】比较上述两种方法，补形法显然比分割法要简洁得多，计算量也很小，但要抓住图形的对称性，巧妙的补成熟悉的几何体，并找到原几何体与补形后的几何体的关系，实现化繁为简的奇效.

【变式训练1】如图4所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BCE分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合，则形成的三棱锥的外接球的表面积为.

【思路】由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体，如图5所示.作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心.再利用三角形相似求出外接球半径，继而求出球的表面积.但是，如果考虑到正四面体的对称性，把它放在正方体中，就可以使问题变得更简洁.

【解析】由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.把正四面体放在正方体中，如图6所示.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球.因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为22.所以外接球直径2R=62，所以R=64，所以外接球的表面积S球=3π2.

方法二联系补形

例2已知三棱锥P-ABC，PA=BC=5，PB=AC=34，PC=AB=41，求三棱锥的体积.

【思路】如按常规求法，需求三棱锥的底面积和高，而高很难求出.由已知三组相对棱相等这一特点，联想长方体对面不平行的对角线恰好组成对棱相等的三棱锥，因此可把三棱锥P-ABC补成长方体，再将长方体分割成三棱锥P-ABC和四个相同体积的三棱锥.

【解析】分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图8所示，则VP-ABC=V长方体-4VP-ABP′.

设长方体长宽高分别为a，b，c，则有：

a2+b2=25，a2+c2=34，b2+c2=41a=3，b=4，c=5

VP-ABC=3×4×5-4×16×3×4×5=20，

所以三棱锥P-ABC的体积为20（立方单位）.

【小结】对对边相等的三棱锥问题，可以考虑补成长方体来处理，会使问题会简洁许多.

【变式训练2】过正方形ABCD的顶点A作PA⊥面AC，设PA=AB，求平面PAB和面PCD所成二面角的大小.

【解析】此图可补形为正方体ABCD-PQRS，显然所求二面角即为正方体的对角面PQCD与侧面PQBA所成的角，而此角为45°，故所求二面角的大小为45°.

方法三还原补形

例3（2016高考浙江理数）如图10所示，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（1）求证BF⊥平面ACFD；

（2）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【思路】（1）先证BF⊥AC，再证BF⊥CF，进而可证BF⊥平面ACFD；

（2）方法一：先作二面角B-AD-F的平面角，再在Rt△中计算，即可得二面角B-AD-F的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面ADB和平面ADF的法向量，进而可得二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【解析】（1）延长AD，BE，CF相交于一点K，如图11所示.

因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此AC⊥BF.又因为EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，

所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，所以BF⊥CK.

所以BF⊥平面ACFD.

（2）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ.因为BF⊥平面ACFD，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BFQ，所以AK⊥BQ.所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.

在△ACK中，AC=3，CK=2，得QF=31313.

在△BQF中，QF=31313，BF=3，得cos∠BQF=34.

所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34.

方法二：略.

【小结】在立体几何中，对于台体问题，常常采用“还台为锥”的策略.

【变式训练3】【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（理）】已知三棱锥S-ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱锥S-ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为.

图12

【解析】由已知，SA，SB，SC两两垂直，可将三棱锥还原补成正方体，其棱长为2，则三棱锥的外接球即正方体的外接球.外接球上到平面ABC距离最大的点应该在过球心且和面ABC垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线相等，即2r=23，故点Q到平面ABC距离的最大值为23（2r）=23（23）=433.

【小结】若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“还原补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解.

总之，“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，可以巧妙地破解空间几何体的体积等问题.在应用时注意以下几点：

1.应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法.

2.以下情况，可以考虑将棱锥补成长方体或正方体：

（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥；

（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥；

（3）若已知棱锥含有线面垂直关系；

（4）若三棱錐的三个侧面两两垂直.

3.掌握补与割的区别与联系.两者既是对立，又是统一的，解题过程中注意两种方法的有效结合，以达到事半功倍的效果.