例说分离参数在导数部分的几类具体应用

牛传勇

【摘要】分离参数是求参数或字母取值范围的一种常用方法，分离参数能起到将未知和已知分隔和转化的目的.本文通过函数单调性、不等式恒成立、不等式存在或有解、函数有零点、方程根的问题入手，做简要介绍，其中函数单调性的是分参之后必须要考虑的切入口，所有这些问题解题的关键是分参之后将原问题转化为含主元函数的值域或最值问题.

【关键词】分离参数；单调性；恒成立；存在；零点

一、利用分离参数解决函数的单调性问题

例1已知函数f（x）=3xa-2x2+lnx，其中a为常数.

解f′（x）=3a-4x+1x，

因为函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，即对任意x∈[1，2]，f′（x）=3a-4x+1x≥0或f′（x）=3a-4x+1x≤0，即3a-4x+1x≥0或3a-4x+1x≤0在[1，2]上恒成立.

即3a≥4x-1x或3a≤4x-1x.

令h（x）=4x-1x，因为函数h（x）在[1，2]上单调递增，

所以3a≥h（x）max=h（2）或3a≤h（x）min=h（1），

即3a≥152或3a≤3，解得a<0或0

所以a的取值范围是aa<0或0

题后反思：（1）已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任一非空子区间上f′（x）≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.

（2）涉及恒成立不等式中变量的取值范围问题，当f（x）在给定定义域上有最大值或最小值时，可根据a>f（x）恒成立a>f（x）max，a

二、利用分离参数解决不等式的恒成立问题

例2设t=h（x）=2x-12x，p（t）=t2+2mt+m2-m+1.若p（t）≥m2-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围.

因为t=h（x）在x∈[1，2]单调递增，所以32≤t≤154.

所以p（t）=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1对于t∈32，154恒成立，

所以m≥-t2+22t对于t∈32，154恒成立，

令φ（t）=-t2+22t，则φ′（t）=122t2-1，

因为t∈32，154，所以φ′（t）=122t2-1<0，

故φ（t）=-t2+22t在t∈32，154上单调递减，

所以φ（t）max=φ32=-1712，所以m的取值范围是-1712+∞.

题后反思：（1）本题通过分离参数将问题转化φ（t）=-t2+22t在t∈32，154时的最大值.规律显示，求较复杂函数的区间最值时，往往以導数为工具体，首先判断函数的单调性，再利用函数的单调性判断函数在给定区间上的最值，这已基本上成为一种定式.

（2）当然本题也可以不分参，转化为区间上二次函数的问题来解决，这里不累赘.

三、利用分离参数解决不等式的存在性（有解）问题

例3设f（x）=13x3-x+3，g（x）=lnx-mx，若存在x∈[1，e]，使g（x）

解由已知得：存在x∈[1，e]，使lnx-mx

即存在x∈[1，e]，使m>xlnx-x3+x.

设M（x）=xlnx-x3+x，x∈[1，e]，

则M′（x）=lnx-3x2+2.

设H（x）=M′（x）=lnx-3x2+2，

则H′（x）=1x-6x=1-6x2x.

因为x∈[1，e]，所以H′（x）<0，即H（x）在[1，e]上递减，于是，H（e）≤H（x）≤H（1），即3-3e2≤H（x）≤-1<0，即M′（x）<0，

所以M（x）在[1，e]上递减，

所以M（x）≥M（e）=2e-e3.

于是m>2e-e3，即实数m的取值范围是（2e-e3，+∞）.

题后反思：存在性问题，如果是分离参数去解决，解题途径与其他问题基本相同，都是分离参数后，直接利用导数判断出函数的单调性，再根据函数的单调性求出相应函数的最值，或首先构造函数，再利用导数判断出构造函数的单调性，最终求出构造函数的最值.当f（x）在给定定义域上有最大值或最小值时，可根据存在x∈I使得a>f（x）a>f（x）min，存在x∈I使得a

四、利用分离参数解决函数的零点问题

例4设函数f（x）=x2-2lnx，h（x）=x2-x+a.若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.

解函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点，

等价于方程x-2lnx=a在[1，3]上恰有两个相异实根.

令g（x）=x-2lnx，则g′（x）=1-2x.

当x∈[1，2）时，g′（x）<0，当x∈（2，3]时，g′（x）>0，

g（x）在[1，2）上是单调递减函数，在（2，3]上是单调递增函数.

故g（x）min=g（2）=2-2ln2.

又g（1）=1，g（3）=3-2ln3，

因为g（1）>g（3），所以只需g（2）

故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]；

题后反思：通过分离参数，将函数的零点问题转化为区间上两函数图像的交点个数问题，分参之后转化成为a=f（x），（1）原函数在区间I上有零点，求f（x）在区间I上值域；（2）原函数在区间I上零点个数，取决于y=a和y=f（x）公共点的个数.

从以上分析可以看出，借助分离参数，用函数的观点讨论含有主元表达式的变化情况，由此确定参数的变化范围，分离参数的积极意义在于它可以避免直接分类讨论带来的麻烦，从而使问题得到有效解决.