椭圆性质的再探讨

徐未君

【摘要】本文通过对椭圆的定义、焦点、顶点、准线、焦点三角形、旁切圆的进一步研究，得出了椭圆的四个性质，并给出了证明.

【关键词】椭圆；焦点三角形；准线

我们知道椭圆的定义为P={M|MF1|+|MF2|=2a，2a>2c}，通过对椭圆的焦点、顶点、准线、焦点三角形、旁切圆的进一步研究，可得出如下性质：

性质1F1，F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，P点是椭圆上的一点，则∠PF1F2所含的△PF1F2的旁切圆必切于椭圆的右顶点A2，∠PF2F1所含的△PF1F2的旁切圆必切于椭圆的左顶点A1.

图1

证明如图1所示，设椭圆为x2a2+y2b2=1（a>b>0），A2′，B为旁切圆I与边F1F2，F1P的延长线相切的点，由旁心圆的性质和椭圆的定义，得|F1B|+|F1A2′|=|PF1|+|F1F2|+|PF2|=2（a+c），|F1B|=|F1A2′|=a+c.故点A2′与点A2重合，旁切圆相切于椭圆的右顶点，同理可证旁切圆相切于椭圆的左顶点的情况.

性质2设A1，A2分别为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，F2为其右焦点，l为对应F2的准线，P是椭圆上（除A1，A2外）任一点，设A1P，A2P分别与l相交于M，N.则MF2⊥NF2.

图2

证明如图2所示，在椭圆中，A1（-a，0），A2（A，0），F2（c，0），准线为l：x=a2c，设点

P（acosθ，bsinθ），则直线方程分别为yA1P=bsinθ（x+a）a（cosθ+1），yA2P=bsinθ（x-a）a（cosθ-1）.所以，Ma2c，（a+c）bsinθc（cosθ+1），Na2c，（a-c）bsinθc（cosθ-1），此时两直线的斜率kMF2=（a+c）bsinθb（cosθ+1），

kNF2=（a-c）bsinθb（cosθ-1），所以kMF2·kNF2=（a+c）bsinθb（cosθ+1）·（a-c）bsinθb（cosθ-1）=-1，即MF2⊥NF2.

性质3设A1，A2分别为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，F2为其右焦点，l为对应F2的准线，P是椭圆上（除A1，A2外）任一点，设A1P，A2P分别与l相交于M，N，则以MN为直径的圆与PF2相切于F2.

证明如图2所示，以MN为直径作圆，圆心为E得出点Ea2c，b（c-acosθ）csinθ，设点P（acosθ，bsinθ），F2（c，0），此时两直线的斜率kEF2=c-acosθbsinθ，kPF2=bsinθacosθ-c，所以kEF2·kPF2=c-acosθbsinθ·bsinθacosθ-c=-1，即EF2⊥PF2，以MN為直径的圆与PF2相切于F2.

性质4设A1，A2分别为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点，F2为其右焦点，l为对应F2的准线，P是椭圆上（除A1，A2外）任一点，设A1P，A2P分别与l相交于M，N.则F2M平分∠PF2A2.

证明如图2所示，由性质2的结果，得知在Rt△MF2N中，∠MNF2+∠NMF2=90°，因为MN⊥x轴，所以∠MF2A2+∠NMF2=90°，由性质3的结果，根据圆的弦切角的性质，得出∠MF2P=∠MNF2，所以∠MF2P=∠MF2A2，即F2M平分∠PF2A2.

【参考文献】

[1]赵爱祥.椭圆性质及应用[J].湖南城市学院学报（自然科学版），2015（4）：73-74.

[2]高娟.椭圆的一个性质及其应用[J].福建中学数学，2015（10）：3-5.

[3]张乃贵.椭圆一个性质的应用[J].中学生数学，2016（17）：25-26.