抽象行列式的计算方法探究

周平

【摘要】行列式是高等代数学习的一个重点内容，而抽象行列式的计算是学生学习的一大重难点.本文基于行列式和方阵的一些性质，介绍计算抽象行列式的几种方法.这些方法对学生掌握抽象行列式的计算与方阵的相关知识具有指导作用.

【关键词】高等代数；抽象行列式；伴随矩阵；特征根

【基金项目】四川省高校科研项目（17ZB0464）；重庆师范大学涉外商贸学院自然科学重点项目（KY2017003）.

一、引言

行列式是高等代数课程中的一个重点内容.同时，行列式在计算机、物理和工程技术中也扮演着重要的角色.因此，行列式的计算是理工科学生必学的一个知识.行列式有：数字行列式、字母行列式、抽象行列式.对于数字行列式和字母行列式的计算方法很多，比如，递推法、拆项法、加边法等[1-4].但对于抽象行列式的计算鲜有文献进行研究.本文主要利用行列式与方阵的性质，介绍几种计算抽象行列式的方法.

二、理论基础

定义1设矩阵A∈Cn×n，若对λ0∈C，存在非零向量α∈Cn，使

Aα=λ0α，

则称λ0是A的一个特征值，非零向量α称为矩阵A的属于特征值λ0的一个特征向量.

性质1设A是n阶方阵，A是A的伴随矩阵，则

AA=AA=|A|E，|A|=|A|n-1（n≥2）.

性质2设A是n阶方阵，使A的特征多项式|λE-A|=0的λ称为A的特征值.

性质3设f（x）=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0∈C[x]，A∈Cn×n，若λ0是A的特征值，则f（λ0）是矩阵多项式f（A）的特征值.

性质4若A∈Cn×n，则A的特征多项式|λE-A|的各根之积等于|A|.

性质5设A，B是n阶方阵，若A与B相似，则|λE-A|=|λE-B|，从而|A|=|B|.

三、计算方法

主要利用上述5个性质去计算一些抽象的行列式，这对学生的初期学习以及考研和参加全国数学竞赛的学生具有一定的指导作用.

（一）伴随矩阵法

主要采用方阵A与伴随矩阵A的关系，即性质1求行列式.

例1设A是一个三阶方阵，已知A+E，A+2E，A+3E都不可逆，试计算12A.

解因为A+E，A+2E，A+3E都不可逆，所以|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0.从而，A的全部特征值是-1，-2，-3.于是，有|A|=（-1）×（-2）×（-3）=-6.

又A是一个三阶方阵，根据性质1，有

12A=12A3-1=12A2=1232|A|2

=126×（-6）2=916.

此类问题主要应用方阵A与伴随矩阵A的关系，同时也注意，遇到题中有方阵A也有伴随矩阵A时，一般会应用这两者的关系解题.

（二）相似关系法

本节主要考虑例2，在本小节中，本文介绍三种方法求解例2的抽象矩阵.

例2设四阶方阵A与B相似，且A的特征值为12，13，14，15，求行列式|B-1-E|.

1.矩阵相似法

利用性质5，要求|B-1-E|，只需找出与B-1-E相似的矩阵即可，当然这个矩阵如果是对角矩阵就好了.因此，目的是去找B-1-E与一个对角矩阵相似.

解由题设A与B相似，根据性质5可知，A与B的特征值相同.于是，B的特征值是12，13，14，15.说明B可逆，且B-1的特征值是2，3，4，5.

由于四阶方阵B-1有4个不同特征值，所以，B-1相似于对角矩阵D，

D=2345 .

即存在四阶可逆矩阵X，使B-1=X-1DX.

于是，有

B-1-E=X-1DX-E=X-1（D-E）X.

从而，B-1-E与D-E相似.

故，

|B-1-E|=|D-E|

=2345-1111

=1234=24.

2.特征值定义法

要求|B-1-E|，由于B-1-E为四阶方阵，故只需找出B-1-E的四个特征值即可.可根据矩阵特征值的定义去找.

解已知A与B相似，由性质5，有A与B的特征值相同.于是，B的特征值是12，13，14，15.说明B可逆，且B-1的特征值是2，3，4，5.

由于B-1为四阶方阵，则B-1有且仅有4个特征值.因此，2，3，4，5是B-1的全部特征值.设λ0是B-1的特征值，α是属于λ0的特征向量，则B-1α=λ0α.

于是，有

（B-1-E）α=B-1α-Eα=λ0α-α=（λ0-1）α.

即λ0-1是B-1-E的特征值.从而，B-1-E的特征值是1，2，3，4.

故，|B-1-E|=1×2×3×4=24.

3.特征值的性质（矩阵多项式）法

要求|B-1-E|，由于B-1-E为四阶方阵，故只需找出B-1-E的四个特征值即可.可根据特征值关于特征多项式的性质去找，即利用性质3.

解由题设A与B相似，则A与B有相同的特征值.于是，B的特征值是12，13，14，15.从而B-1的特征值是2，3，4，5.

由于B-1为四阶方阵，则B-1有且只有4个特征值.因此，2，3，4，5是B-1的全部特征值.

又，关于B-1的矩阵多项式B-1-E对应的多项式为f（x）=x-1.由性质3，有B-1-E的全部特征值为f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，f（5）=4.

故，|B-1-E|=1×2×3×4=24.

对于抽象行列式的计算，不仅是学生初学时的一个难点，也是学生参加考研时需要注意的一个重难点.抽象行列式的计算涉及的知识多且广，需要学生对相关知识有一定的熟悉，学会从已知条件中寻找关键的信息.

四、总结

抽象行列式的計算是学生学习时的一个难点，由于题目给的已知条件有限，也无法得知矩阵的每个元素，因此，需要学生掌握行列式与方阵的相关性质和联系.对于抽象行列式的计算方法与技巧还有很多，比如，利用方阵的迹、特征多项式、若尔当标准型等.本文主要介绍了计算抽象行列式的几种方法，对于学生掌握方阵相似、方阵特征值、行列式的性质等知识有很大的帮助，不仅提高了他们的学习兴趣，也改善了教学效果.

【参考文献】

[1]杨关玲.行列式的计算方法解析[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2015（7）：68-74.

[2]张新功.行列式的计算方法探讨[J].重庆师范大学学报，2011（4）：88-92.

[3]阳庆节.一个行列式的多种计算方法[J].高等数学研究，2015（3）：38-42.

[4]段炼，方贤文.线性代数教学中高阶行列式若干计算方法探究[J].教育教学论坛，2017（36）：195-196.