基于知识主动建构的教学设计、演绎和训练——以“二次函数的几何应用”为例

■ 钟 鸣 陈 锋

一、问题的提出

数学教师如何有效训练学生思维的深度与广度，进而促进学生主动地建构知识？笔者认为，对于常态课而言，基于对知识的整体设计，深入知识的本质和连接点，能训练学生的思维深度；基于学生现有水平，依据学情预设适合学生的问题串，逐层推进、步步深入、系统演绎，能降低思考难度；基于问题的变式拓展，把握本质不变规律，能训练学生的思维广度。下面，笔者以“二次函数的几何应用”一课的教学过程与反思为例，谈一谈如何帮助学生主动建构知识。

二、基于知识主动建构的教学设计、演绎和训练

1.课堂引入整体设计。

“二次函数的几何应用”是数学知识的内部运用，是函数应用的例子，其关联代数与几何，有很强的综合性，是近几年各地中考的热点。本节课是继教材中二次函数内容结束后，对二次函数抛物线与几何图形之间综合问题的微专题探究。基于二次函数的整体知识，围绕学生已掌握的内容，笔者开展了如下的课堂导入。

师：近段时间我们一直在研究二次函数，你能说说处理二次函数的关键是什么吗？

生1：二次函数的表达式。

师：求出二次函数表达式的关键又是什么？

生2：点。

师：由此可见，点是解决二次函数问题的金钥匙。有了点的坐标就可以求出二次函数的表达式，反之有了二次函数的表达式就可以用表达式表示点的坐标，进而表示与它相关的量。那么，点的坐标可以表示哪些与它相关的量呢？

生3：利用点的坐标可以表示线段长，由线段可以联系角度。

师：线段和角是几何图形的元素。图形问题可以因此转化为代数问题，从而进行数形双向联系。

板书：

式→点→线（角）→形；

形→线（角）→点→式。

师：对于这个思路，我们在一次函数、反比例函数中反复经历。二次函数与几何图形问题的基本处理方法也应如此。

基于整体的，才是生长的、深入的。笔者从二次函数的解析式与点说起，由点到线，再由线到角，又由线和角到形，将二次函数与相关的知识关联起来，横向沟通，打通函数与图形的内在联系；指出一次函数与反比例函数中的相同经验，纵向联系，抓住知识方法背后的不变本质。抓住本质方能正确迁移，打通联系才能自然联想，引导学生避免“只见树木不见森林”的狭隘思维，带领学生体验知识的自然生长、方法的逐步深入、思想的渐次升华。

2.课堂例题系统演绎。

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出，数学教学活动，特别是课堂教学，应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。创造性的思维一定是有深度的。由于九年级学生已具备一定的分析问题的能力，有独特的解决函数问题的方法（课堂导入部分会给学生充分表达自己方法的机会和时间），基于学生实际水平，笔者让学生围绕二次函数与几何应用的核心问题展开学习，鼓励学生的创造性思维。在例题教学部分，笔者进行了如下设计。

例 如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-1，0），抛物线经过点（2，-3），与y轴交于点C，其顶点为点D。

师：（示范读题）根据这些条件，你能得到什么？

生4：求出函数解析式为y=x2-2x-3，用两点的坐标（-1，0）、（2，-3）代入，就能求出它的解析式。

师：还可以求什么？

生5：利用解析式求出对称轴为直线x=1；求出点坐标B（3，0）、C（0，-3）；利用对称及解析式可以求得D坐标（1，-4）。

师：除了刚才的方法，求抛物线的解析式还有哪些方法？

师：不计算能说明此函数必经过（0，-3）吗？为什么？

生7：利用对称轴直线x=1及点（2，-3），由对称性直接求出C（0，-3）。

师：还可以获得些什么？

生8：可以求线段所在直线的解析式，如直线BC的解析式为y=x-3。

生9：可以求线段的长度，如AB=4。

生10：可以求一些直线与x轴、y轴的特殊夹角，如BC与y轴夹角为45°。

师：除了考虑到了求点坐标、线段（或直线）解析式、长度及一些特殊角度外，你还会联想到什么？

生11：把得出的线段长、角度放入几何图形中去。

师：对，例如放到三角形中去……

基于学生的，才是适切的、深刻的。教师基于学生的已有基础设计问题，引发学生自然联想，这样设计问题才是适切的；在学情预设和学生现场回答的情况下，适时追问，不断促使学生思维走向深刻。问题与追问，共同构成了深度思维的系统演绎过程，有利于学生深度思维的培养。笔者基于学生的学情，设计这样的问题与问题串，起步低、落脚高，引导学生从二次函数的解析式特征获知有用信息，自主探究，在追问质疑中生成有深度、高质量的思维活动。

3.课堂探究变式训练。

把握事物的本质不是直接告诉学生本质是什么，而是要让学生通过主动探究和体验，在变化中抓住不变的本质；要通过一个背景展开教学过程，进行变式探究，在变式中剥离非本质属性，呈现知识、方法的本质特征，让学生站得高，想得深远。笔者基于一个简单背景进行变式训练，将涉及三角形的问题一一呈现，如定面积问题、面积最大问题、直角三角形问题、相似三角形问题等，将学生的思维引向深入，让学生在变化中感悟不变的思想方法。这无疑是复习课激发学生深度参与的一种方式。

探究问题：例题的条件不变，在此抛物线上找一点P，使△ACP为直角三角形，这样的P点有几个？并求点P的坐标。

变式1：将“点P在抛物线上”改成“点P在抛物线的对称轴上”。（让学生略微分析方法思路）

变式2：将“△ACP为直角三角形”改为“△ACP为等腰三角形”。

（由学生总结构造直角三角形与等腰三角形的基本技能：判断是否有两定点；在两定点前提下由“两线一圆”构造直角三角形、由“两圆一线”构造等腰三角形。）

变式3：在对称轴上是否存在一点P，使以C、D、P为顶点的三角形与△ABC相似？（也让学生思考一下找全等三角形的方法。）

变式4：请在抛物线上找一点P，使△BCD的面积与△CDP的面积相等，并求点P坐标。

变式5：此抛物线上是否存在使△CDP的面积最大的点P？

基于变式的，才是本质的、深远的。这组变式由例题背景出发，层层递进，或构建特殊三角形并变换形状，或引入相似，或求面积，或找最值。通过丰富的变式，既减少学生熟悉题目的时间，又减少机械低效的计算。学生在不断的变式中，抓住分析问题的通法，抓住几何图形的性质，学会了转化问题的思想方法，提升了解题能力。

三、教学反思

1.整体设计要系统整合。

本节课的主题是“二次函数的几何应用”，笔者在教材的整合上体现了整体性。在九年级上学期二次函数的应用中尽管包罗万象，但是抛物线与直线形图形的综合无非就是特殊图形的存在性问题、面积的最值问题、图形之间特殊的关系问题等。站在九年级教学的系统角度来看，对于本节课，要先整体感知、宏观把握，然后到九年级下学期专题复习之时再划分类别、各个击破。这是一种有层次、有节奏的系统规划。

2.系统整合要瞻前顾后。

本节课从抛物线的点的坐标计算开始，由点的坐标得到线段的长、直线的表达式，再由线的计算进入基本图形——三角形的形状研究和大小计算，带领学生研究了特殊的三角形——直角三角形的存在问题、面积的计算问题和面积的最值问题，复习运用了二次函数、一次函数、勾股定理等基础知识，总结提炼了直角三角形存在问题的“两线一圆”找点法和等腰三角形存在问题的“两圆一线”找点法，渗透了将面积求解转化为“轴上形”的转化思想。由此再进一步带领学生往后眺望。学生掌握了抛物线与三角形之间的相关知识处理方法后，必将可以类比这些方法解决与其他图形（如四边形、五边形、多边形，甚至圆）间的关联问题，解答与图形的形状确定、图形的面积大小、图形之间的联系问题，让学生多角度体验，思维真正地由浅到深得以锻炼。

3.系统演绎要环环相扣。

教师站位要比较高，对知识点与知识点、题与题之间的衔接要自然巧妙。学生在笔者的启发引导下不仅能深入课堂，而且在思维的广度和深度上都得到了有效训练，自然地获得深刻体验。笔者从一开始的开放式问答就抓住了学生的注意力，由点到线，再到形，引出了本节课的重点，在给出题目后设置了一连串追问：“看到这些信息，你想到了什么？”“c是多少，怎么求的？”“不用计算，你能说说抛物线肯定经过（0，-3）的理由吗？”“除了刚才的方法，求这个抛物线的解析式还有哪些方法？”以此促使学生不断深入思考，培养了学生的读题、审题、筛选信息的技能。