从“数学好玩”走向“玩好数学”———《圆的认识》教学实录与思考

陈 军（特级教师）

【教学内容】

北师大版六年级上册、人教版六年级上册、苏教版五年级下册《圆的认识》。

【课前思考】

一、教材的逻辑起点是什么

1．纵向梳理。

《圆的认识》内容隶属“图形与几何”领域，是小学、初中、高中数学中重要的教学内容。小学阶段认识圆是整体的、直观的；初中阶段是局部的、具体的；高中阶段是方程的、数形结合的。虽然各阶段要求不一，但贯穿主线一致，即关于圆的本质特征的认识——普遍存在性、广泛的对称性、各点均匀性，使学生的思维拾级而上。

在小学阶段，圆是学生最后研究的一个平面图形，也是学生第一次真正开始理性认识曲线围成的图形，无论是研究方法还是研究角度，都与之前研究直线图形有本质的不同，重点是通过对圆的本质特征的认识，培养学生的空间观念。

2．横向对比。

在教材内容编排上，不同版本大同小异。以北师大版、人教版、苏教版为例，都安排了“圆的认识、圆的周长、圆的面积”。在综合与实践部分略有差异，北师大版充分挖掘数学的教育价值，安排了“欣赏与设计、圆周率的历史”，意在培养学生发现、欣赏、创造生活中的数学美，了解数学发展的历史和人类对数学知识的不断探索过程，感受数学魅力，激发学生研究数学的兴趣；人教版在“数学与体育”中安排了“确定起跑线”；苏教版则安排了“环形面积、画出美丽的图案”。

《圆的认识》在课时结构安排上，不同版本各不相同，各具优势，争奇斗艳，异彩纷呈。由于教材关注的侧重点不同，因此背景素材的数量、数学活动的形式、练习呈现的方式等各不相同，课时的划分也有很大差异（见附表）。

二、学生的认知起点是什么

学生的知识储备：一是直线图形相关知识与技能，研究方法与思想；二是形成了一定的长方体、正方体空间观念，能由实物的形状想象出几何图形，进行几何体与其展开图之间的二、三维转化，能根据条件做出立体模型或画出图形，能运用图形形象地描述问题，利用直观图形进行思考。

学生的认知经验：一是借助身边直观、可感的空间世界，借助原先的生活经验，主动地关注、初步地认识了周围的图形世界。二是在参与、体验、操作等实践中，积累了大量的活动经验，如通过“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画、涂一涂、做一做、想一想”等具体的活动方式，亲自触摸、观察、测量、制作、实验，把视觉、听觉、触觉等协同起来，促进活动内化，掌握图形特征，形成积极探究的活动经验。

三、教学设计的可能高度是什么

从玩陀螺的益智游戏引入，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的完整过程。在动态变化的视角中，直观地感悟圆“一中同长”的本质特征，从感性的“数学好玩”走向理性的“玩好数学”。

1．学科内整合：“圆的认识”揭示的数学本质是什么？

数学教育改革的理念一直以“自主、合作、探究”为主要诉求。但数学改革不能仅限于教学方法层面，更需要思考教学内容。于漪老师说：“教什么要放到课堂教学的第一位来考虑，目标是课堂教学的主宰。”本节课的教学要给学生揭示的数学本质究竟是什么，难道仅仅是关于半径、直径的概念辨析，圆规画圆的技能训练？华应龙老师说：“教是因为需要教。”我思考，着力点是不是应该落在让学生主动探究出圆“一中同长”的最本质特征，让学生在数学好玩中学会求真。

2．学科间整合：“圆的认识”还能给学生哪些价值生长？

数学是对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学的基础，而且在人文科学和社会科学中发挥着越来越大的作用。作为工具学科，从学科整合的角度，“圆的认识”还能让学生获得哪些价值生长？马克思说：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”我思考，是不是应该让学生在玩好数学中学会求实，在学以致用中注入数学的理性思考，数学地解释生活现象，如车轮为什么要做成圆形的？井盖为什么是圆的？

3．超学科整合：“圆的认识”核心数学思想在哪里？

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一位公民应该具备的基本素养。从学科与生活整合的角度，“圆的认识”培养学生用数学的眼光观察世界，学会从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，从动态的视角去研究现象，用数学的方式去理解世界，建立数学模型，体会到事物是普遍联系的辩证唯物主义思想。更进一步，通过极限思想的渗透，让学生体悟有限到无限的辩证统一，自觉在审美的视野中行走，主动发现真善美，创造美好的生活。

【教学过程】

一、游戏引入，提出问题

1.游戏情境、激发兴趣。

（课件出示：陀螺）

师：这是老师小时候最常玩的玩具。你们玩过陀螺吗？

生：玩过，不过我玩的是钢片做的。

2.生活信息、发现问题。

师：看到陀螺，你有什么数学问题？

生：这种陀螺是怎么做出来的？

生：我知道，陀螺是在一张硬纸片上画一个圆，用剪刀剪下圆，再在圆上画上美丽的图案，用针在中心扎一个眼儿，插上火柴棒即可。

师：还能提出什么数学问题？

生：陀螺的形状一定是圆形吗？正方形或其他形状是不是也能旋转呢？

生：可以是其他形状，我上次买的陀螺就有三角形的。

生：圆上的图案转动起来，看到的还是这个图案吗？

师：还能从数学的角度提出什么问题？

生：火柴棒是不是一定要扎在中心呢？

师：这个问题提得非常好！

生：一定要插在中心，否则转动得会不平稳。

3.揭示课题，提出问题。

师：今天我们就来研究陀螺中的数学问题。让我们从玩开始！

二、玩转陀螺，探寻本质

1.玩转陀螺，验证猜想。

师：如果用这些形状的纸做陀螺，火柴固定在什么位置，陀螺转得最稳？

生：扎在中心点。（板书：定点）

师：如果在硬纸板上再画一个红点，如下图，旋转陀螺，红点的轨迹会是一个什么图形？

生：圆形。（板书：动点）

师：四人小组拿出①号信封，每人抽取一个图形，先动手做再验证猜想，并互相交流验证结果。

（课件动态演示红点转动形成的轨迹）

2.反思质疑，问题驱动。

师：如果火柴棒不扎在中心，如下图，旋转陀螺，红点的轨迹又是什么图形？

生：还是一个圆。

生：不是一个圆，这根本就转动不起来。

师：四人小组拿出②号信封，每人抽取一个图形，动手做，验证猜想，并互相交流验证结果。

（学生动手做，验证交流，发现转动得不平稳，手一松开就倒了：也有的学生手捏住火柴棒不松开，顺时针、逆时针来回转动，能看到红点的轨迹是一个圆）

3.透过现象，归纳本质。

（课件动态演示红点转动形成的轨迹）

师：为什么形状不同，火柴棒扎的位置不同，红点的轨迹都是一个圆的呢？

生：因为火柴棒扎的这个点和红点之间的距离总是一样的。

生：火柴棒扎的是定点，红点是动点，无论怎么转动，红点与黑点距离总是一样的。（板书：定长）

（课件动态演示，隐去纸片，只留下定点和动点，转动形成圆的过程。再动态演示，长方形硬纸变成一条线段，形成动点绕定点运动后的轨迹。从而揭示圆的本质特征“一中同长”）

师：说一说圆是怎样形成的？

生：绕一个固定的点，保持同样的距离旋转。

师：知道这个定点、定长在圆中的名称吗？

生：定点就是圆心，用大写字母O表示，定长就是半径，用小写字母r表示。

师：我国古代思想家墨子曾说“圆，一中同长也。”你知道这句说的是什么意思吗？

生：一中，就是圆有一个圆心，也就是定点；同长，就是圆所有半径都相等。

4.操作画圆，自主总结。

师：如果让你画一个圆，你会怎么画呢？

生：用圆规画。

生：用圆形物体描。

生：用一根绳子，中间固定，拉直旋转。

（随着学生的回答，多媒体呈现学生画圆的图片）

师：请大家用圆规任意画一个圆，并总结画圆步骤和注意点。

生：分开两脚距离，把有针尖的一脚固定，装笔芯的一脚旋转一周。

生：画圆过程中，注意两脚距离不能变动。

生：画圆过程中，有针尖的一脚要扎紧。旋转时，手要拿着圆规的顶端手柄。

师：圆内一些点、线还有特别的名称，谁知道？

生：两条半径成一直线时这条线叫直径，用字母d表示。

生：直径是通过圆心，两端都在圆上的线段。（板书：直径）

师：画一个直径4厘米的圆。

师：大家画的圆都一样大吗？（找出错误作业，当场化错）

师：这说明圆的大小由什么决定？

生：半径。

师：圆的位置呢？

生：圆心。

师：你觉得圆还有哪些特征？

生：圆的半径、直径都有无数条，直径是半径的2倍。（板书：d=2r）

生：圆还是一个轴对称图形。

生：直径是它的对称轴。

三、实践应用，认识本质

1.回归生活，寻找例证。

师：说一说生活中哪里有圆？

生：剪纸、瓷器、标志、建筑中、餐具……

生：世界最大单口径射电望远镜“中国天眼”直径500米。

（随着学生的回答，课件呈现生活中圆的图片）

师：为什么这么多地方都有圆形？

生：是因为圆很美。

师：难怪古希腊数学家毕达哥拉斯说：“在一切平面图形中，圆最美。”

2.寻根究底，认识本质。

师：其实除了美之外，圆在生活中的应用还有其他原因。

请看：动物王国的运动盛会，你觉得谁能获胜？说说你的理由。（课件播放视频）

生：小猴能取胜，因为小猴的车轮是圆形的，转起来比较平稳。

师：为什么比较平稳？

生：圆，一中同长。其他车轮，一中不同长。

（课件呈现比较的视频）

师：如果车轮做成多边形，又要行驶得平稳，不颠簸，有什么办法能实现吗？（课件呈现方轮汽车颠簸前行的动画）

生：可以配合车轮，让路面高低不平。

（课件呈现动画）

师：其实生活中还真有这样的车轮。（出示方轮自行车）

师：生活中到处是圆，不仅因为圆最美，更因为“圆，一中同长”的本质特征。

师：“一中不同长”的图形与“一中同长”的圆之间有没有什么联系呢？（课件呈现）

生：随着多边形边数的增加，这些“一中不同长”的图形，中心到边上的距离与到顶点的距离会越来越接近，当边变成点时，就变成了圆。

师：这些正多边形都是直线图形，圆是曲线图形。当正多边形的边数多到无数条时，它就成了一个圆，直线图形也就成了曲线图形，原来世间的事物既对立统一又相互转化。（板书：直线图形、曲线图形）

师：接下来，咱们一起来做一个小游戏，用一张正方形纸如下图这样折叠4次，再沿虚线剪一刀，猜一猜打开后是会是什么图形？如果折叠的次数再多一些，又会怎样？你发现了什么？你觉得这样做是利用了圆的什么知识？

生：打开后的图形是一个圆。

生：打开后的图形是一个正八边形。

生：如果折叠的次数再多一些，会非常接近一个圆，但一定不是圆。

生：这是利用“一中不同长”的正多边形边数越多越趋近圆。

师：（课件呈现下左图）猜一猜这是什么？

生：井盖。

师：不错，只要善于创造，生活中再不起眼的东西都会变得很美。不过生活中也有这样的井盖（课件呈现下右图），你觉得井盖做成圆形的好还是方形的好?

生：做成圆形的好，圆的直径都相等，无论怎么转动，都不会掉下去。

生：做成方形的，由于边小于对角线的长，容易掉下去，造成安全隐患。

师：其实，一中同长，还可以创造出美丽的图案。

师：任意一个图形，如三角形、正方形、椭圆等，沿着某一点，按特定角度旋转，都会出现美丽图案呢。（课件呈现）

师：为了方便画出这样的美丽图案，有人发明了“万花尺魔幻工具”，如果有兴趣，你也发明一个试试吧！

四、板书落成，总结延伸

师：今天《圆的认识》就讲到这儿了，你对圆有什么新的认识？

生：圆，一中同长也。

师：这节课你有什么感受？

生：学会了用数学眼光洞察世界，用动态的视角研究现象，用数学的思维品味生活。

师：关于圆你还想研究什么？

生：研究圆的周长和面积。

【课后明辨】

一、关于圆的核心概念描述

教学圆之后，我曾对学生进行访谈，让他们说一说“什么是圆？”结果，好多学生脱口而出的就是“圆，一中同长也。”既精准又颇有古人的音韵腔调。让我充分领悟到中国古代数学文化的新时代价值，传承的就是经典的，古人对圆本质特征的总结和概括是如此精炼准确。对于我们每一位中华儿女，都应该学好这些中国古代数学文化的瑰宝。作为一名教师，应该将这些中华古文明所积累的知识典籍介绍给学生。让学生从小树立文化的自信，民族的自豪感，拥有中国人的自信心。

二、关于问题解决能力的培养

近年来，中国学生参加PISA测试，在名次上绝对靠前，引起世界各国对中国教育的关注，但中国学生问题解决能力却在倒数行列。这不得不让人联想到钱学森之问：“这么多年培养的学生，还没有哪一个的学术成就能够跟民国时期培养的大师相比。”“为什么我们的学校总是培养不出杰出的人才？”这是我们每一个教育者必须面对的现实和急需破解的命题，诚然，人才的培养不光是大学的责任，作为基础教育工作者，我们也应该从奠基抓起，把学生的问题解决能力的培养始终放在首位。

在教学中，我尝试将数学学习放在开放的社会大课堂视野中。学生在预学的基础上，让学生找到自己的认知起点，面对生活的真情境，自主地发现问题，自由地提出问题。“提出一个问题比解决问题更重要”（爱因斯坦）。教师在了解学情的基础上披沙拣金，沿波讨源，对学生的问题进行梳理、调整、编织，并将学习内容的原生价值，与学生学习的需求点和生长点有效连接，形成驱动学生好奇心与内生力的主问题、问题链或问题组。引导学生在一个开放的大问题主线上不断地由浅入深，由低到高，层层递进，螺旋上升式地整体带动思维提升、情感发展。让学生自始至终浸润在深度的质疑思辨之中，全身心地投入到分析问题、解决问题过程之中。

附表：

版本 北师大版 人教版 苏教版结构（1）观察生活中的圆；（2）分析游戏的公平性；（3）用不同的工具画圆；（4）给出圆心、半径、直径的概念；（5）解释生活中的一些现象；（6）找圆心；（7）圆的轴对称性，半径与直径的相互关系；（8）圆的旋转对称性；（9）欣赏与设计。（1）用圆形物体画圆；（2）用纸质的圆对折；（3）给出圆心、半径、直径的概念；（4）半径与直径的属性以及相互关系；（5）用圆规画圆；（6）圆是轴对称圆形，画对称轴；（7）练习题。（1）观察生活中的圆；（2）用不同的工具画圆；（3）用圆规画圆；（4）给出圆心、半径、直径的概念；（5）画、剪、折纸质的圆，寻找半径与直径的属性以及相互关系，轴对称性；（6）欣赏与思考。区别从学生已有的生活经验和知识背景出发，结合具体情境和操作活动，激活已经存在于学生头脑中的经验，促使学生逐步归纳内化，上升到数学层面来认识圆，体会圆的本质特征。其安排更符合学生的认知规律。从知识的逻辑结构呈现教材，其安排有利于学生掌握圆的主要特征，形成系统的知识结构体系。从学生的认知结构呈现教材。其安排符合学生由感性认识过渡到理性认识的认知规律，有利于改善学生的学习方式。课时 4课时 2课时 3课时