巧避误区，玩转全等三角形

冯文轩

“全等三角形”是研究平面图形的重要工具，在三角形知识链中有承前启后的作用，学好这一知识也有利于同学们几何推理证明能力的提升.同学们在初接触这一知识时，由于对相关概念和性质的理解还不够成熟，会出现一些错误.现列举几种常见的错误并做分析，以帮助同学们更好地学习这部分内容.

【例1】根据下列条件，画出的△ABC的形状和大小确定的是（ ）.

A.AB=2，AC=4，BC=6

B.AB=3，AC=2，∠B=30°

C.∠A=40°，∠B=60°，AB=3

D.∠C=90°，AB=6

【错误解答】A或B.

【错因分析】选A的同学误认为三边确定，以判定三角形全等的定理“SSS”认为此三角形是确定的.但是，我们忽略了构成三角形的前提条件：三角形任意两边之和大于第三边.在这里AB+AC=6，因此AB+AC=BC，三边无法构成三角形.

再来看B选项，已知两边和一角，这里∠B是边AC所对的角.有同学认为可以根据判定方法“SAS”确定三角形.但是，“SAS”的条件是要两边及其夹角对应相等，夹角应为∠A，而题中∠B不符合要求.B答案列出的条件可以表述为“边边角”，也就是“SSA”，很多同学误以为“SSA”能判定三角形全等.而事实上，“SSA”是不可以作为判定全等的依据的，此为常考的易混淆知识点.

【正确解答】C.两角及其夹边相等，根据判定法则“ASA”，可以说明△ABC的形状和大小是确定的.

【例2】已知△ABC和△DEF全等，且∠B=∠C，若∠A=70°，则∠D 的度数是__________.

【错误解答】因为△ABC≌△DEF，所以∠D=∠A=70°.

【错因分析】三角形的对应关系不确定，全等的对应关系有多种可能.

【正确解答】在△ABC中，因为∠B=∠C，所 以（180°-70°）=55°，①若点D与点A对应，则∠D=∠A=70°；②若点D与点B对应，则∠D=∠B=55°；③若点D与点C对应，则∠D=∠C=55°.所以∠D的度数是70°或55°.

【例3】已知△ABC和△A′B′C′，AB=A′B′，AC=A′C′，如 AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高，且AD=A′D′.△ABC和△A′B′C′是否全等？如果全等，说明理由.如果不全等，给出反例.

【错误解答】全等.

图2

如图2，在Rt△ABD和Rt△A′B′D′中，

易得Rt△ABD≌Rt△A′B′D′（HL），

所以BD=B′D′，

同理可证CD=C′D′，

所以BD+CD=B′D′+C′D′，即BC=B′C′.结合已知条件AB=A′B′，AC=A′C′，可得△ABC≌△A′B′C′（SSS）.

【正确解答】不一定全等，反例如图3所示，虽然BD=B′D′，CD=C′D′，但BC≠B′C′.

图3

【错因分析】原题未给出图形，画图时未注意可能出现的多种情况.三角形的高可能在三角形外.当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形就不会全等.