由一道一元二次方程的求值问题展开的联想

余旭红

近几年中考中，一元二次方程的求值问题频频出现，这类问题起点低，立意高，同学们要学会一元二次方程的多种求解方法，灵活解决相关的求值问题.下面笔者从2018年的一道中考题出发，通过层层拓展，例举一元二次方程求值的相关思路，旨在和同学们交流探讨.

一、由一元二次方程的解的定义展开求值

例1 （2018·江苏盐城）已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）.

A.-2 B.2 C.-4 D.4

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可.

解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2.

故选：B.

【点评】解决此类问题的关键是根据一元二次方程解的定义代入求值.

拓展1 （2018·江苏扬州）若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2015的值为________.

【分析】根据一元二次方程的解的定义和整体思想即可求出答案.

解：由题意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1，∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018.

故答案为：2018.

【点评】此类问题不仅用到了一元二次方程解的定义，而且用到了整体法求整式的值.

二、由一元二次方程的求解展开求值

拓展2 （2018·山东泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的情况是（ ）.

A.无实数根

B.有一个正根，一个负根

C.有两个正根，且都小于3

D.有两个正根，且有一个根大于3

【分析】直接整理原方程，用配方法解方程得出x的值.

解：（x+1）（x-3）=2x-5，整理得：x2-2x-3=2x-5，则x2-4x+2=0，（x-2）2=2，解得：x1=2+ 2＞3，x2=2- 2，故有两个正根，且有一根大于3.

故选：D.

【点评】解决此类问题关键是化简一元二次方程，然后用适当的方法解方程求解.

拓展3 （2018·台湾）若一元二次方程x2-8x-3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a-2b之值为（ ）.

A.-25 B.-19 C.5 D.17

【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=-3，然后计算代数式a-2b的值.

解：（x-11）（x+3）=0，x-11=0或x-3=0，所以x1=11，x2=-3，由a＞b得a=11，b=-3，所以a-2b=11-2×（-3）=11+6=17.

故选：D.

【点评】解决此类问题的关键是学会用适当的方法解方程进行求解.

三、由一元二次方程的求解展开几何问题的求值

拓展4 （2018·贵州安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）.

A.12 B.9 C.13 D.12或9

【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出周长即可.

解：x2-7x+10=0，（x-2）（x-5）=0，x-2=0，x-5=0，x1=2，x2=5.

①等腰三角形的三边是2，2，5，∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意.

②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12.

即等腰三角形的周长是12.

故选：A.

【点评】解决此类问题不仅要熟练地应用适当的方法解一元二次方程，而且要学会用几何性质对所求的几何量进行判别，确定正确的解.

四、转化为一元二次方程，通过方程求解展开求值

解：由题意得：2b（b-a）+a（b-a）+3ab=0，整理得解得

【点评】解决此类问题要学会把分式方程化为关于某个未知数的一元二次方程，不仅要熟练地应用适当的方法进行方程的求解，而且要体会整体数学思想的应用.

拓展6 （2018·湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2-ab，例如，5※3=52-5×3=10.若（x+1）※（x-2）=6，则x的值为_____.

【分析】根据新定义把一个未知方程转化为一元二次方程，通过方程求解进行求值.

解：由题意得，（x+1）2-（x+1）（x-2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为：1.

【点评】解决此类问题要学会从新定义的描述中把未知方程转化为一元二次方程，从而熟练地用适当的方法进行方程的求解.

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区钱清镇中学）