高校数学师范生对数系知识的认识现状研究——以昌吉学院为例

孙德荣 张 静

（昌吉学院数学系 新疆 昌吉 831100)

引言

“数系”是中小学数学“数与运算”部分的核心内容，在《全日制义务教育数学课程标准》和《普通高中数学课程标准（实验）》中都有很多关与“数系”的教学内容，数系的发展某种程度上也反映了数学自身发展的历史轨迹，而数学本身的发展客观上也要求数系的不断扩充。高师师范生的培养与专业发展是教师教育的重要环节，也是教师教育所直接面临的重要问题。数学师范教育的一个显著的特点是注重数学基础知识的学习，数学师范生在中小学的数学学习中，已经学习了如有理数，自然数，整数，实数，复数等关于数系知识的相关内容，在大学阶段的数学基础课中也进一步学习了有关数系的知识。可以说，数学师范生已经积累了相当多的有关数系的知识，为了解数学师范生对数学知识的掌握与理解情况，以“数系”为载体，通过调查问卷和访谈研究昌吉学院数学师范生对这一部分知识的认识情况，分析存在的问题，从教育教学的角度提出对策性建议。

一、调查方法

（一）研究对象

昌吉学院数学系本科B1401、B1402、B1501班师范生，共57人，其中29名维吾尔族，14名哈萨克族，13名汉族，1名柯尔克孜族。他们大学期间的数学学科专业课程基本修完，学科内容知识较为完整，具有一般教学法等相关理论知识，并于2017年3月—2017年6月在南疆实习支教。

（二）研究方法

采用问卷调查法，问卷测试的题包括：(1)整个数系扩充与发展的理解；（2）单个数集相关概念的理解；（3）具体数集的相关知识的理解；（4）数系相关知识的教学理解。各测试的考查目的包括下面这些内容。

表1 各测试的考查目的

（三）结果与分析

根据问卷调查和访谈得知师范生对数系相关知识的概念掌握的并不是很好，他们记住了一些简单的概念，并没有很透彻地理解，对数系相关知识本身的理解不够扎实，有些概念虽然了解但是不会准确表达。

第一题是请你用语言描述或者图形示意，说明中小学阶段数集的扩充过程。

在53份有效问卷中，50.94%（27人）的师范生没有完整地写出来，20.75%（11人）的师范生未写完整，答对的有4人，还有6.4%（15人）的师范生没有理解题目，图形示意中，大学包含高中，高中包含初中，初中包含小学，可以看出，数学师范生还不够理解数系扩充与发展过程。

第二题是中小学阶段的数学学习都涉及到哪些数（集）的概念？试描述你所理解的这些数（集）概念的定义。90.56%（48人）的师范生都写出了中小学阶段涉及到的数的概念，但并未分类，如有同学依次写到：有理数、无理数、正整数、实数、整数、正数、复数、无限循环小数、自然数。同时，也并没有写出这些数集的定义。有9.4%（5人）的师范生未答出此题。整体上看，师范生并没有掌握清楚数集概念的定义。

第三题是数系扩张的一般原则有哪些？只有两位师范生写出来了，虽然他们写的不是很完整，但是他们最起码记住了数系扩张的一般原则的一两个点。其他师范生什么都没写，进一步访谈得知，一些数学师范生印象里根本就没有学过这样的知识点，还一部分师范生记得大学期间学过，但没有真正理解含义，所以很快就忘了。可以看出，大部分数学师范生对什么是数系扩张的一般原则没有得到足够的理解。

第四题是你如何向学生解释无限循环小数是有理数？你自己又是如何理解的？（可以通过举例说明）。

通过分析可以看出，师范生对有理数有着不同的理解，84.9%(45人)的师范生能基本准确地表述有理数的概念。但是还有8位师范生混淆了有理数和无理数的概念，，有两位同学写到π是有理数，访谈过程中有师范生回忆道，老师曾举例，像这样的数字叫做有理数，并给出证明，但对于如何证明的表达不清楚。

第五题是数是可以比较大小的，复数是数，所以复数也可以比较大小。这个推理是否正确？为什么？

对这道题来说88.68%(47人)的师范生写到复数不能比较大小，但是他们不知道原因。有6位师范生回答复数可以比较大小。仅有1名师范生写到，复数与复平面上的点存在着一一对应关系，无法像实数排在数轴上那样去比较大小，指明复数可以排序，但未给出具体的排序方式。

第六题是你能在数学上证明“负负得正”这个有理数运算法则吗？你会如何向学生解释“负负得正”？请给出你的解释。

从答案中可以看出，师范生目前掌握的关于“负负得正”的运算法则和初中阶段的掌握没有区别，只记住了一个结论。85%（45人）的师范生只用负数乘以负数作为例子说明，如：（-1）×（-2）=2，（-2）×（-3）=6，有8位师范生利用“好人坏人”、“运动”、“水位”模型等引入。由此可以看出，总体上，数学师范生对此的教学理解不够深入。

第七题是我们知道数轴上的点与实数是一一对应的，而实数又可分为有理数和无理数，任取数轴上的一点，取到有理点的可能性和取到无理点的可能性有怎样的大小关系？试说明你的理由。

对这道题75%（40人）的师范生都写了一样多，但不清楚原因，还有8位师范生不太确定哪个多，有5位同学答对了这道题，写到，“无理数的可能性比有理数大”，通过访谈得知师范生仅仅记住了上课时老师讲的这部分知识的结论，但是详细的推导过程和证明过程，过几天就忘了。

第八题是回忆你作为学生时，在“数”的学习过程中，你曾经碰到的困难或者疑惑是什么？作为一名准教师，你估计学生在学习这些“数”概念时都会出现哪些困难？

回答这道题的时候，大部分师范生写到，他们对数的概念和性质理解的不透彻，觉得概念很抽象，一些师范生写到以前对有理数和无理数的概念不清楚，经过大学阶段的学习，对概念的认识有了深刻的了解。有1名师范生回答了跟别人不一样的答案。他写到“1.为什么要学数学；2.1+1为什么等于2；3.无限不循环小数为什么叫无理数”，跟这位师范生访谈以后得知，到目前为止她依然不清楚为什么要学数学？觉得数学是一门抽象、难懂的学科。

第九题是你认为学习这些“数”的相关知识有什么作用（比如后续的学习、社会生活、思维发散等）？

对这道题大多数师范生写出了数对我们的生活带了方便，教了我们怎样花钱，他们都按照自己的想法写出了这道题。他们回答的答案中可以看出大部分同学都意识到了数的重要性，但是他们并没有深刻地认识数学到底是有什么作用。

二、教学建议

（一）重视数学史在数系教学中的渗透

一门学科的历史有助于使该门学科更具有吸引力，一个新的数学概念的产生往往蕴含丰富的数学背景，数学史的介绍既可以丰富学生的数学知识，提升学生数学学习的兴趣，使学生感受数学家探究的精神，体会数学思维的价值。以数系的扩充为例，数学史介绍可以成为贯穿这一节课的一条主线，如讲到负数时，可以向学生介绍，中国是世界上对负数认识最早的国家，公元3世纪的刘徽己经对负数有了深刻的认识。在《九章算术注》中，他认为，“今两算得失相反，要令正负以名之”。他还认为，“言负者未必负于少，言正者未必正于多。”这两句话都是关于正负数的绝对值而言的，即负数的绝对值未必小，正数的绝对值未必大。这种思想与现代的数学思想是完全一致的。同时，这部著作的巨大贡献体现在著作本身蕴涵的数学意义和后人对该书所作的注释中所蕴涵的数学思想，极大地影响了后世的数学家。《九章算术》中蕴涵了许多在世界上遥遥领先的数学成果，如勾股定理，方程思想，数列求和，正负数，而汉朝数学家们运用极为精妙的算术方法一一为看似不可能在那个时代解决的问题给出了正确的解答。昌吉学院的数学师范生大多来自南疆和农村地区，基础较为薄弱，因此，在课程中渗透数学史，对于提高师范生数学素养，使学生了解我国古代数学家在数学史上的杰出成果、领悟中华文化的博大精深有重要帮助。

（二）在数学基础课程中，重视数系相关概念的形成过程

数学的知识是分层次的，各层次间既相互独立又相互联系，教师应该通过有效的方式，了解学生目前已有知识情况，在此基础上补充相关初等数学的知识，引导与促进学生自己建立知识体系。在问卷及访谈中发现，很多数学师范生存在关于数系的相关基本概念表述不准确、不清楚概念的形成过程等问题，因此在平时的教学中，应关注学生个人知识和直接经验，重视知识形成的来龙去脉，澄清数学知识的本质内涵，厘清知识脉络，帮助师范生深刻理解数学本质，牢固掌握基础知识。在大学数学专业基础课程中，高等代数、数学分析课程的相关概念与基本理论与中小学数学联系非常紧密，在教学中应注意讲解概念的形成过程，特别是与中小学内容密切相关的数学内容，立足相应知识点的深化，用高等数学的观点、原理、方法来理解中学数序有待深入解决的一些问题，突出数学本质。例如，初中数学中乘方an（a∈R,n∈N）运算与数学分析中实指数乘幂ax的定义,[1]将幂指数从自然数扩充到有理数，再从有理数扩充到了实数，这是初等数学中没有得到充分解决的问题，而在数学分析中，则可以通过确界来精确定义，并得到理论上的证明。又如，高等代数中的多项式理论[2]将初中数学中的多项式的因式分解从有理数扩充到了实数，又从实数扩充到了复数范围，等等。从中小学数学知识到大学数学的纵深，使学生认识知识本质的同时，感到数学是发展的，从而激励他们进一步学习。

（三）帮助数学师范生树立正确的数学观

数学师范生的数学观念会对数学师范生数学素养的形成产生一定影响，在一定程度上决定了将来中小学教师的教学态度和教学方法。[3]数学的发展与社会的进步有着密切的联系,数学的高度抽象性以及推理的严谨性，使得数学的应用十分广泛,在社会发展的过程起到了的重要作用。反之,其他学科的发展,也促进了数学的发展与进步。因此，在对数学师范生的教学中，需改革教学方法，激发学生的学习兴趣，避免单一的知识传授，不仅要进行概念、定理、例题的讲解，还要对数学知识产生的实践背景、理论意义等进行说明，帮助学生树立正确的数学观，培养学生的数学素养和数学能力。