吕晓蝶 陈滔
摘 要 线性代数主要是对线性方程组进行研究,在生活实践中,线性方程组广泛的应用于各个领域,如经济学、物理学等,本文通过典型例题详细介绍了线性方程组在空间解析几何上的应用。
關键词 线性方程组 解析几何 例题
中图分类号:O151.26 文献标识码:A
例1:判断直线,与的位置关系。
解:将这两个直线方程合并成一个线性方程组即:
其增广矩阵是
在对该增广矩阵施行初等行变换
则系数矩阵的秩,增广矩阵的秩,所以就有,故这两条直线是异面直线。
例2:讨论下列三个平面的位置关系:
,
,
,
其中是参数。
解:这三个平面是否有公共交点,取决于下面的方程组是否有解:
(1)
计算线性方程组的行列式。所以就有,若且,则该线性方程组有唯一解。所以,三平面有唯一的公共交点,且交点可以对式(1)用克莱姆法则求得。
若,对式(1)的增广矩阵施行初等行变换即:
因此,当时,式(1)无解;
当时,式(1)有解,从而三平面有公共交点;
当时,对(1)的增广矩阵施行初等行变换:
由最后一个矩阵的第二行可知,式(1)无解,所以,三平面无公共点。
当,时,根据式(2)不难求出式(2)的通解即:
,是任意实数。
因此,这三个平面的交线是过点(2,0,2),以(1,-1,0)是方向向量的直线。
综上归纳以上讨论得:
且时,三平面相交于一点;
或且时无公共交点;
且时三平面相交于一条直线。
参考文献
[1] 涂道新,张光裕.线性代数[M].高等教育出版社,2008.
[2] 陈东升.线性代数与空间解析几何及其应用[M].高等教育出版社,2010.