角度暗藏玄机 比例明晰方向

尚凡青　魏相清

个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO∶CO=1∶3，求AB的长.

经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）.

请回答：∠ABD= °，AB= .

说明：上述试题改编自北京市2014年中考数学试题第22题，保持了东营市中考数学试题命题的近几年风格，以改编题为主；该题看似无从下手，实则暗藏玄机，认真分析后就会发现可以通过构造相似的基本图形或角平分线的基本图形将问题解决，考查了初中阶段的核心知识；此外，该题作为此题的第（1）问，以填空题的形式出现降低了难度，减轻了学生的心理负担，也为研究第（2）问指明了方向，兼具中考试题的选拔功能，是一道不错的试题.2 解法简析

作为一线教师在研究中考试题过程中，笔者认为需要考虑的第一步就是除了参考答案提供的方法（此处以提示的形式呈现，要求学生简单填空）以外，还有没有其他方法？做到“入宝山而不空返”（罗增儒语），因此，下面针图3对上述问题再给出几种其他解法.

方法1：过点C作CG∥AB，交AO的延长线于点G，通过构造△AGC就可以解决问题（如图3）.

方法2：过点O作OE∥AC，交AB于点E，通过构造△AOE就可以解决问题（如图4）.

方法3：过点O作OF∥AB，交AC于点F，通过构造△AOF就可以解决问题（如图5）.

说明 试题中的提示和方法1是受BO∶CO=1∶3的启发，在图形外部通过构造相似的基本图形（X型图）解决问题；方法2和方法3则是受上述启发，在图形内部构造相似的基本图形（A型图）解决问题.然后，还要通过告诉的角度发现隐藏的条件（30°+2×75°=180°），进而发现△ABD、△AGC、△AOE、△AOF等都是等腰三角形，从而顺利解决问题.

除了按照上述提示，应用方法1、2、3可以解决问题外，还有其他方法吗？上述方法最早的出发点是题干中的比例关系，然后再通过角度关系，发现了等腰三角形，那么我们能否先从题干中告诉的角度入手呢？答案是肯定的.图6

方法4：过点O作OH⊥AB，CI⊥AO，垂足分别为H和I，过点C作CJ垂直于BA的延长线于点J（如图6）.

根据题干条件易得：OH=332，CJ=CI=63；

然后根据S△ABO+S△ACO=S△ABC可得：12×AB×323+12×33×63=12×AB×63，

解得：AB=43.

说明 上述方法首先从题干中给的角度的条件入手，发现30°+2×75°=180°，此时如果延长BA的话，就会出现角平分线，于是此时尝试构造角平分线的基本图形[1]将问题解决；当然如何应用题干中的比例关系成了接着需要考虑的问题，于是有了图6中的辅助线OH（此时出现了相似的基本图形A型图）；最后应用“面积相等，算两次”的方法将问题解决，这种方法是教材中证明勾股定理的方法，在很多考题中也有出现，需要引起一线教师的足够重视.3 两点思考

3.1 角度暗藏玄机

通过上面的介绍可以看出，发现题干中告诉的角度之间的关系是解决问题的关键，那么如何发现这种暗藏的玄机呢？很多文章都有介绍[2]，不过笔者认为不断的“试误”，不断的纠偏，也是一种不错的方法，在解决此问题的过程中最难做的是如何处理75°的这个角，曾经尝试将75°分为30°和45°的两个角，这样也可以出现角平分线的基本图形，但是在这种思路下，题干中的比例关系用不上，于是才有了上述方法4.

3.2 比例明晰方向

我们有理由相信上述方法4不容易想到，题干中最容易下手的就是比例关系，而处理比例关系的方式就是构造相似来解决[3]，于是试题中的提示和方法1、2、3都是通过在图形外或图形内构造相似的基本图形来解决的，这样就会让问题迎刃而解.4 拓展再编

再编1：通过上面的介绍可以看出题干中的关键条件一个是角度的关系，一个是比例的关系，那么能否将上述两个条件更一般化呢？

如前文图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=α，∠OAC=β，且满足α+2β=180°，AO=a，BO∶CO=1∶n，求AB的长.

此题的答案是AB=an+a，与题干中告诉的角度没有关系.图7

再编2：求AC的长.

在等腰△ABD中易得BD=2ABcosβ，又BDAC=BOCO=1n，即2ABcosβAC=1n，解得AC=2nABcosβ=2a（n+1）cosβ.

至此，我们有理由猜测此题最初的命题灵感，可能是来自于下述角平分线的基本图形（如图7，AD平分∠BAC）中蘊含的结论（ABAC=BDCD），特别是试题中的提示方法正是证明此结论的典型方法.

中考试题是命题专家集体智慧的结晶，作为一线教师在教学中应该认真研究中考试题，特别是本地区的中考试题，自己先跳进“题海”，将学生从“题海”中解放出来，为真正实现学生减负贡献一份力量.此外，解题能力也是数学教师必须具备的基本功，相信在这个过程中必会加速自身的专业成长.

参考文献

[1]高厚良.对“角的平分线”教学的思考——从一次“沪皖同课异构”教学展示谈起[J].中学数学杂志，2016（4）.

[2]王永松.挖掘题目中的“隐含条件” 突破“非特殊角”的壁垒[J].中学数学（下半月），2017（12）.

[3]于彬，王师森.一次青年教师解题比赛中的解题思考[J].中国数学教育（初中版），2017（6）.