把脉学情 围绕问题 自主探究——“反比例的意义”教学实践与思考

江苏省常熟市塔前小学 戴美兰

《反比例的意义》是苏教版小学数学第十二册第六单元的内容，反比例关系和正比例关系一样是一种重要的数量关系，它渗透了初步的函数思想，学生理解并掌握了这种数量关系，可以加深对比例的理解，解决一些简单的实际问题。教学中我基于学生的已有认知水平，合理整合教学内容，最大限度地拓宽学生探究学习的空间，引导学生经历过程，意义建构概念本质。

一、在微课复习中提炼数学方法

课标指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上。在此之前，学生已经学习了正比例的意义，对“相关联的量”“成正比例的两个量的变化规律”“如何判断两个量是否成正比例”已经有了认识，也掌握了研究比例规律的一些数学基本方法，这为学习《反比例的意义》奠定了基础。所以老师课前特意录制了一段微课，课始师生共同观看，重温正比例意义的学习活动，激活已有认知经验，唤起学习表象和数学思考：观察例1表格，围绕问题思考并展开讨论，全班交流发现，最后归纳总结时间和路程成正比例关系……借助微课的“导”，师生共同提炼出研究比例规律的数学方法：观察、思考、讨论、发现、归纳、总结……为学生自主探究反比例的意义做了有效的铺垫。我们知道，方法的习得比知识的传授更重要。

二、在核心问题中展开自主探究

出示例3表格：用60元购买笔记本，笔记本的单价和购买的数量如下表：

单价/（元/本） 1 2 3 4 5 6 …数量/本 60 30 20 15 12 10 …

（1）引导：运用研究正比例关系的数学方法，研究单价和数量之间有着怎样的关系？可以围绕下面两个问题开展小组讨论，觉得有需要的也可以请数学书来帮忙。

课件出示：

①表中的单价和数量是怎样变化的？

②这种变化有什么规律？

（2）集体交流，引导学生认识和发现：

①表中有两种相关联的量，单价发生变化，笔记本数量也发生变化。单价越低，本数越多；单价越高，本数越少。

（板书：单价和数量是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化）

②笔记本的数量随着单价的变化而变化，用单价×数量可以发现总价是不变的。

引导：你能举几个例子说说吗？

（板书：1×60=60 2×30=60 ……）

提问：你能说说乘积60表示什么意思吗？（总价）

你能用一个式子表示出单价、数量和总价之间的关系吗？（板书：单价×数量=总价[一定]）

（3）追问：单价和数量这两种量成什么关系？为什么？

请几位学生交流和补充想法。

（板书：单价和数量成反比例关系，单价和数量是成反比例的量）

由于有了正比例意义的学习经验，反比例意义的学习教师没有做细致的引导，而是把学习的主动权交给学生，围绕两个核心问题展开小组讨论，教师只做点拨和引导。学生通过观察、思考、计算、比较，充分经历了数据的变化过程，真切感受到单价扩大、数量缩小，单价缩小、数量扩大，总价不变这种和正比例完全相反的变化，体会到变中不变的规律。借助数学书来帮忙，则通过自学课本，学生主动发现单价和数量之间的关系，理清了单价和数量成反比例关系的两个必要条件，把探究活动中积累的经验和发现的规律上升到理性的认识，对反比例的意义有初步的理解和感悟。

三、在研究单导学中展开多维对话

在学生初步理解反比例意义的基础上，请学生拿出研究单，仿照例3的学习方法，尝试着去完成“试一试”，看看工作效率和工作时间有着怎样的关系。

生产240个零件，工作效率和工作时间如下表：

工作效率/ (个/时) 120 80 60 48 40 …工作时间/时 2 3 4 …

（1）根据表中的已知条件把表格填写完整,说说工作时间是随着（ ）的变化而变化的。

（2）举例算出相对应的两个数的乘积各是（ ）。

（3）这个乘积表示的实际意义是（ ）。

（4）用式子表示它与工作效率和工作时间之间的关系：（ ）○（ ） = （ ）。

（5）想一想，工作效率和工作时间成反比例吗？同桌说说为什么。

“试一试”完全采用自主探究的方式继续感知反比例关系。学生尝试完成五个问题后，同桌首先展开对话，说说自己的发现，接着学生上台自主介绍探究过程，台上和台下的学生自主对话，互相补充、互相提醒。这一过程，学生的思维被有效激活，兴趣被有效激发，教师适时引导小结“工作效率、工作时间和工作总量”三者之间的关系。借助研究单的导学功能，自主式发现和交流演绎出更多的精彩。教师适时点拨学生抓住成反比例量的知识核心，通过生生之间、生本之间、师生之间的多维对话，再次经历判断成反比例量的思考过程，积累感性认识，深化理性认识，意义建构反比例的概念。

四、在回顾反思中把握概念本质

（1）回顾刚才的学习过程，想一想，例3和“试一试”中讨论的两种量有什么共同的地方？

（2）思考：仿照正比例，想想反比例怎样用字母表示它们之间的关系？

（3）追问：现在你们发现可以依据什么来判断两种量是否成反比例？（小结并板书课题：反比例的意义）

（4）举例：生活中还有哪些相关联的量也成反比例关系？你能举例说一说吗？

通过对例3和试一试两种量共同点的讨论，为特殊到一般抽象归纳反比例的意义做了准备，仿照正比例，学生顺利地想到可以用X和Y代表两个相关联的量，用K表示它们的乘积，顺利抽象出反比例意义的字母表达式：X×Y=K（一定）。学生在潜移默化中感受到概念学习的一般方法：从感性到理性，从特殊到一般。通过寻找生活中的例子，激活学生的生活体验，丰富对反比例意义的理解，从而正确把握概念本质。

五、在自主练习中深化理解意义

谈话：研究单上余下的题目，请同学们自主选择喜欢的一道题目来练一练，看看题中的两种量是否成反比例。

学生独立练习，完成后小组内交流。

（1）学生上台交流，介绍自己的想法。

生1：“练一练”1：因为每袋装的粒数×袋数=总粒数（一定），所以每袋装的粒数和袋数成反比例。

生2：“练一练”2：因为每天运的吨数×天数=总吨数（一定），所以每天运的吨数和天数成反比例。

生3：练习十一第2题（对比练习）。

①交流表中填写的数据。

②讨论并交流：

长方形的面积一定，长与宽成反比例吗？

长方形的周长一定，长与宽成反比例吗？

重点讨论并板书：（长+宽）×2=周长（一定）。

追问：题中讨论的是谁与谁的关系？你能把它转化成长与宽的关系吗？

（板书：长+宽=周长÷2[一定]）

明确：长方形周长一定是指长与宽的和一定，而不是积一定，所以长与宽不成反比例。

强调：只有当两种相关联量的乘积一定时，它们才能成反比例。

（2）用手势（√或×）判断：圆的周长一定，圆周率和直径成反比例吗？

交流板书：π×d = c（一定）。

明确：圆周率和直径不是两种相关联的量，圆周率不会随着直径的变化而变化，所以圆周率和直径不成反比例。

追问：通过对比练习，你觉得要判断两种量是否成反比例有什么需要提醒大家注意的？

强调：两种相关联的量和两个量的乘积一定，两者缺一不可。

由于学生的认知水平和学习能力参差不齐，不同的学生会选择不同层次的题目，有基础的，有提高的，有对比的。这样通过选择自己喜欢的一道题，从自身的认知特点和学习能力出发，满足了自身的学习需求，不同层次的学生有不同的收获，对反比例的意义都有自己独特的建构。通过对比辨析，学生真正掌握了判断两种量是否成反比例的数学方法，感悟了模型思想，提高了判断能力，深化了意义的理解。

六、在拓展延伸中为后续学习奠基

课件出示：“你知道吗”。

先让学生自由读一读，问：通过阅读，你知道了什么？

追问：观察表格，X和Y的乘积都是……？（板书：X×Y=60[一定]）

观察反比例图像，说说点A和点B表示的实际意义各是什么？你还能说出其他各点表示的实际意义吗？

学生发现：每个点对应的X轴和Y轴上两个数的乘积都是60，这些点连起来是一条曲线。

延伸：正比例图像是一条直线，反比例图像是一条曲线，有关反比例的图像中学会进一步研究。

通过阅读“你知道吗”，向学生简要介绍了反比例的图像，既有利于加深学生对反比例意义的理解，又可以帮助学生获得对正比例和反比例的完整认识，形成合理的认知结构，同时也勾起学生对研究反比例图像的浓厚兴趣，为后续的深度学习做了有效的引领。

总之，研究反比例的意义，借助问题式导学、小组式合作、自主式交流、指导式发现，以核心问题引领课堂，以自主探究贯穿课堂，引导学生进行思考讨论、知识建构、经验交流、思想感悟，从而真正把握概念本质。