基于PBL模式的统计学课程教学设计

李杰 李爽 舒广文

摘 要：“中心极限定理”在“概率论与数理统计”课程的教学内容中具有承上启下的重要意义。该定理内容抽象，形式复杂，教学效果很难令人满意。以问题为导向的教学（problem-based learning，PBL）是一种以学生为中心的教学模式。目前，PBL模式在我国高等教育的课程教学中已有了较广泛的应用，取得了较理想的教学效果。为尝试将这种新的教学模式运用于“概率论与数理统计”课程的教学中，作者以“中心极限定理”章节为例，设计了基于PBL模式的教学过程。

关键词：PBL模式；教学设计；中心极限定理

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）05-0106-03

Abstract： The "Central Limit Theorem" is of great significance in the teaching content of the course "Probability and Mathematical Statistics". The content of this theorem is highly abstract， and the form of this theorem is very complex. Therefore， the teaching effect is difficult to be satisfactory. Problem-based learning （PBL） is a student centered teaching model. At present， the PBL model has been widely used in the course teaching of higher education in China， and has achieved an ideal teaching effect. In order to apply this new teaching mode to the teaching of "Probability and Mathematical Statistics"， we have designed a teaching process based on PBL mode， taking "Central Limit Theorem" as an example.

Keywords： PBL model； teaching design； Central Limit Theorem

“概率论与数理统计”是研究与随机现象相关的数量规律的学科，也是高等学校理工科专业的通识必修课之一。“概率论与数理统计”的潜在应用领域十分广泛，几乎遍及学术研究和日常生活的方方面面。通过本课程的学习，学生可以培养运用概率论的思想观察、处理随机事件的能力，培养运用统计学方法从数据资料中发现潜在规律的能力。由此可见，“概率论与数理统计”课程的学习效果对于理工科学生的专业能力培养具有重要意义。“中心极限定理”在本课程的全部教学内容中具有承上启下的重要意義。该定理内容抽象，形式复杂，既是本课程教学的重点，也是难点。在实际教学过程中，相当部分学生不能理解定理的内容，只能通过生搬硬套定理的数学形式来解答习题。如何提高“中心极限定理”章节的教学效果，是每一个参与该课程教学的教师都应该积极思考的问题。

以问题为导向的教学（problem-based learning，PBL），简称PBL，是一种以学生为中心的教学模式[1，2]。基于PBL模式的教学主要包括以下几个环节。首先，教师根据所要讲授的教学内容，给学生提出一个需要解决的问题，这个问题可以被称为驱动问题。驱动问题的答案与教师的教学目标紧密相关。接下来，学生对驱动问题展开探究，尝试在教师的指导下自主解决这个问题。最后，学生通过自主探索，解决问题，发现规律，掌握教学内容。同时，在解决问题的过程中，学生也锻炼了分析问题和解决问题的能力[3，4]。目前，PBL模式在我国高等教育的课程教学中已有了较广泛的应用[5]。为尝试将这种新的教学模式运用于“概率论与数理统计”课程的教学中，笔者以“中心极限定理”章节为例，设计了基于PBL模式的教学过程。本次教学设计所使用的教材是目前被各个高校广泛采用的浙大编高教版“十一五”国家级规划教材[6]。

一、“中心极限定理”的主要教学内容

本节的主要教学内容为中心极限定理的两种形式——独立同分布的中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。其中，独立同分布的中心极限定理是中心极限定理的基本形式。棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理是将其基本形式运用于服从两点分布的总体时的特殊情形。

本节教学内容的重点，是中心极限定理所传达的统计规律。值得注意的是，定理的内容是基础，数学形式只是表达定理内容的载体。学生在学习本节教学内容时，应该先理解定理内容，在理解定理内容的基础上推导定理的数学形式。由于不少学生在长期以来学习数学的过程中，养成了“背公式”的学习习惯，以为只要记住了定量的数学形式，在解题时加以套用就可以了。但是，由于中心极限定理的数学形式复杂，如果只是简单地记忆公式，则往往不能准确掌握公式中每一项的含义。这样，就难以收到良好的学习效果。针对这一问题，结合PBL模式的基本教学环节，教师对本节内容的教学过程进行了如下设计。

二、基于PBL模式的“中心极限定理”教学设计

（一）理解样本均数与总体均数的不同属性

独立同分布的中心极限定理主要叙述的是当抽样次数足够多时，样本均数的分布规律。只有随机变量，才存在分布的问题。因此，要理解这个定理，就需要理解样本均数的随机变量属性。因此，教师一开始就提出驱动问题——什么是总体？什么是样本？总体均数是常数还是随机变量？样本均数是常数还是随机变量？为什么？总体均数和样本均数虽然同为“均数”，但这两个均数的属性是不同的。总体均数的取值与抽样的具体情况无关，因此，总体均数是常数。而样本均数会随着抽样具体情况的不同而不同。因此，样本均数是随机变量。教师希望学生通过思考驱动问题，深刻理解样本均数的随机变量属性。

（二）计算与理解样本均数的数学期望和方差

既然样本均数是随机变量，那么，这个随机变量的数学期望和方差又应该是多少呢？教师提出深一层的驱动问题——从均数为μ，方差为σ2的总体中随机抽取n个相互独立的样本。则这n个样本的样本均数的数学期望和方差分别是多少？此处，要向学生强调样本和总体是服从相同分布的。因此，样本的数字特征就是总体的数字特征。在此基础上，学生就可以根据数学期望和方差的性质，计算出结果——样本均数的数学期望与总体均数相同，方差为总体均数的1/n。尽管计算过程非常简单，但相当部分学生不能准确地理解这一结论。主要问题在于，求数学期望具有求均数的意味，而在这个问题中，求均数的对象恰好又是“样本的均数”。从问题的表述形式上来看，题目求的是“均数的均数”，理解起来确实可能存在困难。但是，如果学生能深刻理解样本均数的随机变量属性，就不难破解“均数的均数”这一“障眼法”。其中的第一个“均数”是一个随机变量，第二个“均数”是随机变量的数字特征。

（三）理解独立同分布中心极限定理的核心内容——样本均数的分布

在求出样本均数的数字特征的基础上，教师进一步提出驱动问题——样本均数应该服从的分布是什么？学生通过阅读教材，不难给出这个问题的答案——当抽样次数足够多时，样本均数服从的分布是正态分布。在此基础上，学生不难分析得出教材上独立同分布的中心极限定理的原始数学形式中各项的准确含义。为了检验学生是否准确理解了中心极限定理的内容，教师继续提出驱动问题--如何只用文字，不用符号来表述中心极限定理？通过解答这一问题，学生可以获得对中心极限定理的更深层次的理解。解决这一问题的难点，在于如何用文字解释样本均数服从正态分布这一较为抽象的内容。通过积极思考和反复地讨论，多数的学生都将能够最终写出一个比较令人满意的文字表述。不妨可以用以下文字来叙述中心极限定理的内容。从均数为μ，方差为σ2的总体（原总体）中随机抽取n个相互独立的样本。抽样一次，可得一个样本均数。当抽样次数足够多时，大量的样本均数可以构成一个新的总体（样本均数的总体）。无论原总体服从什么样的分布，样本均数的总体一定服从正态分布。且新总体的總体均数与原总体相同，方差缩减为原总体的1/n。通过以上三个阶段的PBL模式下的教学，学生获得了对教材上独立同分布的中心极限定理的认识。教师首先把定理的内容分解为三个层次——样本均数的随机变量属性、样本均数的数学期望与方差以及样本均数的分布。针对每一个层次，教师有针对性地提出了驱动问题。学生在驱动问题的启发下自主思考问题，习得预定的教学内容。在PBL模式下，学生在整个学习过程中占主导地位，这有利于发挥学生学习的主观能动性，取得理想的教学效果。

（四）布置随堂练习题，巩固中心极限定理的基本形式

教师布置随堂练习题如下：用机器对某种新药口服液装瓶，由于装瓶有误差，所以每瓶新药口服液的净重为一随机变量，其期望值为100克，标准差为10克。现一箱中装有口服液200瓶，试求一箱口服液的净重超过20500克的概率。刚刚接触“中心极限定理”知识的学生可能对这道习题一筹莫展。教师应首先与学生一起读题，帮助学生理解题意。就题目中的信息，教师可向学生提出以下驱动问题。题目中涉及的总体是什么？总体所服从的分布是否已知？总体参数是什么？哪些已知，哪些未知？样本是什么？样本容量是多大？题目关心的是样本均数的分布还是样本总数的分布？通过仔细阅读习题内容，学生容易得到这些问题的答案。总体是这台机器装配的所有的新药口服液的重量。但是，总体所服从的分布是未知的。与总体相关的参数有两个，即总体的均数和标准差。这两个量都是已知的，均数为100克，标准差为10克。可将“一箱口服液”看成是来自总体的样本。即从这个总体中，随机抽取了一组样本容量为200的样本。题目关心的应该是样本总数的分布，如果知道了样本总数的分布，就容易求出题目要求的概率。学生通过回答这些问题，可以有效地加深对知识的理解与掌握。在教学过程中，教师应注意观察学生对问题的反应。如果学生回答问题有困难，教师应对定理的相关内容进行强化讲解。学生在上述驱动问题的引导下，可以通过“中心极限定理”，得出口服液总重量应服从的分布——均数为200×100=20000，方差为200×10×10=20000的正态分布。最后，利用标准正态分布的分布函数可以求出最终结果。通过解答这道课堂练习，学生可巩固对中心极限定理基本形式的认识。借用该题中的实例，学生可以更好地理解定理中的样本均数、总体均数、以及样本均数的分布等项的含义。

（五）推导并理解中心极限定理的拉普拉斯形式

在理解独立同分布的中心极限定理内容的基础上，教师继续向学生提出驱动问题——从服从两点分布B（1，p）的总体中随机抽取n个相互独立的样本，则样本均数的分布是什么？如何解释样本均数的分布？对于第一个问题，学生容易得到答案——样本的均数服从均数为p，方差为p（1-p）/n的正态分布。要理解这个分布，首先要理解的是来自二项分布总体的样本均数的实际意义。通过思考和交流，学生可以发现，样本均数是一个比例，这个比例是“样本率”，即频率。进一步地不难发现，总体均数也是一个比例，只不过这个比例是“总体率”，是概率。因此，在针对两点分布的总体这一特殊的情形下，样本均数的分布规律可解释为频率在概率附近波动，样本容量越大，波动程度越小。这也就是在概率论中用大量重复实验中的频率代替概率的理论基础。在获得了这些认识以后，学生就可以自然而然地理解教材中棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的数学形式以及其中每一项的含义。

（六）布置随堂练习题，巩固中心极限定理的拉普拉斯形式

教师布置随堂练习题如下：根据孟德尔遗传理论，红、黄两种番茄杂交第二代红果植株和黄果植株的比例为3：1，现种植杂交种400株，试求其中的黄果植株在84和117之间的概率。就题目中的信息，教师仍然向学生提出以下驱动问题。题目中涉及的总体是什么？总体所服从的分布是否已知？总体参数是什么？哪些已知，哪些未知？样本是什么？样本容量是多大？题目关心的是样本均数还是总数的分布？在本题中，多数学生不能直接从题目给予的信息中读出总体的相关信息。但是，容易知道本题中涉及的样本为400株杂交种植株，它们要么是红果植株，要么是黄果植株。因此，样本服从的分布应为两点分布。如果设计数随机变量Xi的取值由下式给出：

Xi=0 第i个植株非黄果植株1 第i个植株为黄果植株

则黄果植株的总数X=X1+X2+…+X400。

所以，本题最终要求解的概率与样本总数的分布有关。

到此，学生对于本题中所涉及的样本，已经获得了较为全面的认识。然而，总体是什么？总体服从的分布是什么？总体相关的参数是什么？学生尚不能准确地把握。这时，教师应提醒学生——样本是来自总体的样本，故总体和样本应服从相同的分布。样本的分布为p=1/4的两点分布，故总体也应服从p=1/4的两点分布。由两点分布的性质，其数学期望为1/4，方差为3/16。由中心极限定理，400个来自两点分布总体的样本的和的分布均数为400×1/4=100，方差为400×3/16=75的正态分布。最后，利用标准正态分布的分布函数可求出最终结果。进一步地，教师继续向学生提出如下驱动问题。在本例中，总体均数、样本均数以及样本均数的分布分别有何意义。学生通过思考可以知道，总体均数是黄果植株出现的概率（总体率），而样本均数是黄果植株在本次抽样中出现的频率（样本率）。由中心极限定理，频率应在概率附近波动，且样本容量越大，波动程度越小。本题比前一题相对要难一些。主要难在本题中的总体参数不是直接告诉学生的，而是需要学生通过分析样本的特征来进行求解的。通过解答这道练习题，学生可巩固对中心极限定理拉普拉斯形式的认识。

三、关于“中心极限定理”章节教学方法的探讨

（一）注重对中心极限定理内容的理解

数学是一种抽象的语言。书写数学公式的最终目的是将数学规律的具体内容以一种简单的形式呈现出来。对于较简单的数学公式，学生一般容易理解。但是，中心极限定理的数学形式比较复杂，初学者一般难以直接从数学公式的形式来把握定理的内容。因此，在讲授这一部分内容时，教师应首先将数学形式背后要传达的信息逐步地传授给学生。在学生基本了解了这个定理的内容之后，再向学生介绍定理的数学形式。这样，就可以有效避免学生在学习过程中的死记硬背和生搬硬套，从而提高教学效果。

（二）注重学与练的有机结合

及时练习对于本部分内容的学习具有重要意义。因此，教师应拿出一部分课堂时间，让学生当堂操练所学的内容。对布置给学生的练习题，教师要认真地给学生解释题意，分析题目中给出的数量与中心极限定理内容的对应关系，辅导学生完成习题。将自主练习穿插在课堂教学中，既有利于调动学生的主观能动性，也有利于学生在教师的指导下实现知识内化。

（三）注重学习过程中的师生互动

著名教育学专家钟启泉先生强调：“在课堂教学中，教师与学生、学生与学生之间就教材文本和生活体验为媒介展开相互沟通，学生唯有通过这种沟通，才能习得种种知识”[7]。由此可见，课堂教学中的师生以及生生交流对于教学效果的提高具有举足轻重的作用。在教学过程中，教师应针对教学内容的重难点，反复提出问题，要求学生回答。师生互动形式不拘，既可以是教师指定学生回答，也可以是学生一起回答。这样既有利于教师掌握学生的学习情况，也有利于学生实现知识的内化。

（四）注重现代教育技术与传统板书教学的有机结合

在课堂教学中使用多媒体工具是当代教育发展的大趋势。多媒体工具的优越性是将动态和直观的过程形象地展示给学生。通过多媒体工具，学生容易在较短时间内对较复杂的过程产生直观的印象。但是，长时间观看多媒体也容易给学生学习造成负面影响。还值得注意的是，多媒体的播放速度往往快于大多数学生接受信息的速度。因此，多媒体工具往往不适合用于推导成分比较重的教学。在教学实践中，如果用多媒体工具直接放映“中心極限定理”的数学表达式这一方式来进行教学，多数学生可能难以获得对定理内容的基本认识。在“中心极限定理”章节中，可以用多媒体技术来呈现“原总体”和“样本均数组成的总体”两个总体之间的相互关系。与中心极限定理相关的推导计算则最好采用传统的板书形式进行教学。

参考文献：

[1]张硕非，胡荣党.PBL和CBL教学方法在口腔正畸学中应用的比较[J].高教学刊，2015，20：64-67.

[2]张屹，陈珍，白清玉，等.基于移动终端的PBL教学对小学生元认知能力的影响研究——以小学科学课程“地球的运动”为例[J].中国电化教育，2017，366：79-87.

[3]汪青.国内医学院校PBL教学模式的应用现状及问题剖析[J].复旦教育论坛，2010，8：88-91.

[4]王云，崔彩霞，王丽琴.基于Moodle平台的PBL教学模式研究——以山西师范大学“现代教育技术”公共课为例[J].电化教育研究，2014，257：98-101.

[5]杨礼芳，范国正，朱艳平.护生对护理程序不同步骤PBL教学法的评价[J].高教学刊，2016，33：86-87.

[6]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].高等教育出版社，2008.

[7]钟启泉.概念重建与我国课程创新——与《认真对待“轻视知识”的教育思潮》作者商榷[J].北京大学教育评论，2005：48-57.