应用（[G′/G]）—展开法求解（1+1）维Boiti—Leon—Pempinelli（BLP）方程

樊志毅 赵展辉

摘 要：非线性偏微分方程大量出现在数学、物理、力学、化学、生物、工程等领域.因而，寻求其精确解对深刻理解模型所反应的非线性现象具有十分重要的理论意义和学术价值.本文利用拓展的F-展开，结合 [（G′/G）] -展开法研究BLP方程，得到了新的行波解.

关键词：[（G′/G）] -展开法；改进的[（G′/G）] -展开法；（1+1）维BLP方程；行波解；精确解

中图分类号：O175.29 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2018.04.016

0 引言

在经济全球化的今天，科学技术也日益的发达，非线性偏微分方程在不同的学科领域中的作用也日益凸显，尤其是与物理学有关的各个分支领域，如流体力学、非线性光学等.研究非线性偏微分方程的精确解将有助于我们更好地理解以及解释上述的物理科学.

在所求得的非线性偏微分方程的精确解中，孤立波解是一类很特别的解，其含义表示波在传播过程中的速度和形状都没有发生改变，即保持了稳定性.可积系统中都可以求解出孤子解.近些年来，随着孤子理论的发展，寻找求得孤子解的方法也逐渐成为一个热门的研究方向，如：齐次平衡法[1]、Darboux变换[2-3]、三波法[4]等都是目前求解非线性偏微分方程常用的方法.

基于已有的研究方法，通过运用[（G/G）]-展开法[5]及其改进的方法[6]来求解（1+1）维BLP方程，以便可以获得丰富的精确的孤立波解.

1 [（G/G）] -展开法简介

王明亮等[1]提出了齐次平衡方法及其应用，齐次平衡方法是求解非线性偏微分方程的一个重要的方法.李二强等[5]提出了（G/G）-展开法，事实表明，[（G/G）] -展开法的确是一种简便的方法，且求解过程十分简单明了，很容易掌握.因此，为相关研究人员所利用，由此许多研究者对已有的[（G/G）] -展开法进行改进（即让解的形式由正向指数幂拓展到负向指数幂），以便获得更丰富的精确解.

为能更好理解[（G/G）] -展开法，下面将简单叙述此方法求解的过程：

以（2+1）维非线性方程为例（即含有[x，y，t]为自变量的非线性方程），该方程的一般形式为：

[pu， ut， ux， uy， uxx， uxy， uxt，…=0，] （1）

其中，[u=u（x， y， t）]，[p]表示[u]以及[u]的各阶偏导数的一个多项式.

对所求的非线性方程进行行波变化：

[ux， y， t=uξ，] [ ξ=kx+ly+ct，] （2）

由此可以得到一个关于[u=u（ξ）]的非线性常微分方程，即：

[pu， u， u， …=0.] （3）

假设所求的非线性方程有形如

[uξ=i=0naiGGi] （4）

的解.

若用改进的[（G/G）] -展开法来求解，则所求的非线性方程有形如

[uξ=i=-nnaiGGi] （5）

的解.

在方程（4）中的[G=G（ξ）]需满足方程：

[G+λG+μG=0 ，] （6）

在方程（5）中的[G=G（ξ）]需滿足方程：

[G+μG=0 ，] （7）

在上式的方程中，[ai（i=1， 2， …， n）， c、k、l、μ、λ]都为待定系数，正整数[n]则由齐次平衡方法（即令最高阶导数项次方数等于最高阶非线性项次方数）来确定.

当待定系数[n]确定后，便知道了解的项数，此时便可以将式（4）或式（5）代回到方程（3），得到一个关于[（G/G）]的多项式.接下来，令[（G/G）]的各次项的系数为0，通过使用Maple软件便可以求解待定系数[ai（i=1， 2， …， n） ， c、k、l、μ、λ].

2 应用[（G/G）]-展开法求解（1+1）维BLP方程

考虑BLP方程

[ut+2uux-12vx=0 ，]

[vt-12uxxx+2uvx=0.] （8）

方程组（8）称为（1+1）维BLP方程.

经研究发现，BLP方程具有混沌现象，混沌（Chaos）是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为（内在随机性）.

下面将分别用[（G/G）] -展开法及其改进的方法对（1+1）维BLP方程进行求解和讨论.

首先对式（8）进行行波变换：

[ux，t=uξ ， ξ=kx+ct ，] （9）

[vx，t=vξ， ξ=kx+ct ，] （10）

则式（8）变成如下方程组：

[cu+2kuu-12kv=0 ，]

[cv-12k3u+2kuv′=0.] （11）

假设方程组的解满足以下形式：

[uξ=i=0naiGGi，] （12）

[vξ=j=0mbjGGj.] （13）

式中：[ai（i=0 ， 1 ， 2 ， …， n） ， bj（j=0 ， 1 ， 2 ， … ， m）]为待定系数，且[G=G（ξ）]满足以下方程：

[G+λG+μG=0 ，] （14）

方程（14）中[λ]和[μ]都是待定系数.将方程（12）和方程（13）代入方程组（11），由齐次平衡原理得到如下等式：

[2n+1=m+1 ，]

[n+3=m+n+1 ，]

由以上2个等式解得[n=1，m=2.]为此，方程组（11）解可以写成以下形式：

[uξ=a1GG+a0 ，]

[vξ=b2GG2+b1GG+b0.]

[a1≠0 ， b2≠0 ， b1≠0 ，] （15）

通过Maple软件的求解，可以得到有关的系数解.

[a0=k2λ-2c4k ， a1=12k ， b0=12k2μ ， b1=12k2λ ， b2=12k2.] （16）

式中：[c、k、μ、λ、a0、b0]为任意常数.将式（16）所得到的解代入待定解（15）中，则方程（11）的解可以写成：

[uξ=k2λ-2c4k+k2GG ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2GG+k22GG2.] （17）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、μ、λ]是任意常数.若已经求出方程（14）的通解后，把它代入上面的待定解（17）就可以求出关于（1+1）维BLP方程的3种不同类型的行波解，而方程（14）的解分以下3种情况进行讨论：

1）[λ2-4 μ>0]，根据方程（14）的通解可以得到：

[GG=-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ ，] （18）

式中：[A1、A2]是可以取任意常数，把通解（18）代入待定解（17）后，就可以得到方程（8）的扭结波解：

[uξ=k2λ-2c4k+k2-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ+]

[k22-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ2.] （19）

式中：[ξ=kx+ct， c、k、A1、A2、μ、λ]都是任意常数.利用辅助方程（14）的通解，当[A1、A2]取不同的值时，所得的解也就不同，例如取[A1>0，A21>A22]，则扭结波解（19）可以写成下面的形式：

[uξ=-c2k+kλ2-4 μ4tanhλ2-4 μξ2+ξ0 ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+λ2-4 μ2tanhλ2-4 μξ2+ξ0+]

[k22-λ2+λ2-4 μ2tanhλ2-4 μξ2+ξ02.] （20）

式中：[ξ=kx+ct，ξ0=arctanhA2A1， A1、A2、c、k、μ、λ]是任意常数.

2）[λ2-4 μ<0]，根据方程（14）的通解可以得到：

[GG=-λ2+λ2-4 μ2-A1sin12λ2-4 μξ+A2cos12λ2-4 μξA1cos12λ2-4 μξ+A2sin12λ2-4 μξ ，] （21）

式中：[A1、A2]是任意常数，把通解（21）代入待定解（17）后，就可以得到方程（8）的三角函数解：

[uξ=-2c4k-λ2+λ2-4 μ2-A1sin12λ2-4 μξ+A2cos12λ2-4 μξA1cos12λ2-4 μξ+A2sin12λ2-4 μξ ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+λ2-4 μ2-A1sin12λ2-4 μξ+A2cos12λ2-4 μξA1cos12λ2-4 μξ+A2sin12λ2-4 μξ+]

[k22-λ2+λ2-4 μ2A1sinh12λ2-4 μξ+A2cosh12λ2-4 μξA1cosh12λ2-4 μξ+A2sinh12λ2-4 μξ2.] （22）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、A1、A2、μ、λ]是任意常数.利用辅助方程（14）的通解，当[A1、A2]取不同的值时，所得的解也就不同，例如取[A1>0 ， A21>A22]，则三角函数解（22）可以写成下面的形式：

[uξ=-c2k+k4 μ-λ24tan4 μ-λ2ξ2+ξ1 ，]

[vξ=k2μ2+kλ2-λ2+k4 μ-λ22tan4 μ-λ2ξ2+ξ1][+]

[k22-λ2+4 μ-λ22tan4 μ-λ2ξ2+ξ1.] （23）

式中：[ξ=kx+ct ， ξ1=arctanA2A1， A1、A2、c、k、μ、λ]是任意常数.

3）[λ2-4 μ=0]，由方程（14）的通解可知：

[GG=-λ2+A2A1+A2ξ ，] （24）

式中：[A1、A2]是任意常数，把通解（24）代入待定解（17）后，便可以得到方程（8）的有理函数解：

[uξ=k2λ-2c4k+k2-λ2+A2A1+A2ξ ，]

[vξ=k2μ2+k2λ2-λ2+A2A1+A2ξ+k22-λ2+A2A1+A2ξ2.] （25）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、A1、A2、μ、λ]是任意常数.

设方程（8）有如下形式的解，即：

[uξ=i=-nnaiGGi，] （26）

[vξ=j=-mmbjGGj，] （27）

式中：[ai（i=-n ， … ， 0 ， 1 ， … ， n）]、[bj（j=-m ， … ， 0 ， 1 ， … ， m）]，并且[G=Gξ]還满足方程：

[G+μG=0，] （28）

式中：[μ]是待定常数.把形式解（26）和式（27）代入方程组（11），由齐次平衡方法可以得到以下等式：

[2n+1=m+1 ，]

[n+3=m+n+1 ，]

由上面的等式可以解得：[n=1 ， m=2.]为此，方程组（11）解的形式可以写成如下等式：

[uξ=a-1GG+a0+a1GG ，]

[vξ=b-2GG-2+b-1GG+b0+b1GG+b2GG2.] （29）

通过Maple软件求解，得到如下系数解：

[a0=-c2k ， a1=12k ， b0=k22 μ ， b2=k22 ， a-1=0 ， b-2=0 ， b-1=0 ， b1=0.] （30）

式中[c、k、μ]是任意常数.把系数解（30）代入式（29）后，方程（11）的解可以化为：

[uξ=-c2k+12kGG ，]

[vξ=k22 μ+k22GG2.] （31）

式中：[ξ=kx+ct ， c、k、μ]是任意常数.当求出方程（28）的解后，把它代入式（31），就可以求解出关于（1+1）维BLP方程的3种不同类型的行波解，下面对参数的不同情况进行讨论：

① [μ>0]，由方程（28）的通解可知：

[GG=μ-A1sinμξ+A2cosμξA1cosμξ+A2sinμξ ，] （32）

式中：[A1、A2]是任意常数，把通解代入形式解方程组（31）后，可以得到方程（8）的三角函数解：

[uξ=-c2k+12kμ-A1sinμξ+A2cosμξA1cosμξ+A2sinμξ ，]

[vξ=k22 μ+k22μ-A1sinμξ+A2cosμξA1cosμξ+A2sinμξ2.] （33）

式中：[ξ=kx+ct ， μ>0 ， A1、A2、c、k]都是任意常数.

利用辅助方程（28）的通解，当[A1、A2]取不同的值时，所得的解也就不同，例如取[A1>0 ， A21>A22]，则三角函数解（33）可以写成：

[uξ=-c2k+12kμtanμξ+ξ0 ，]

[vξ=k22 μ+k22μtanμξ+ξ02.] （34）

式中：[ξ=kx+ct ， ξ0=arctanA2A1 ， μ>0 ， A1、A2、c、k]是任意常数.

②[ μ<0]，根据方程（28）的通解可以得到：

[GG=-μA1sinh-μξ+A2cosh-μξA1cosh-μξ+A2sinh-μξ ，] （35）

式中：[A1、A2]都是任意常数，把通解（35）代入式（31）后，可以得到方程（8）的扭结波解：

[uξ=-c2k+12k-μA1sinh-μξ+A2cosh-μξA1cosh-μξ+A2sinh-μξ ，]

[vξ=k22 μ+k22-μA1sinh-μξ+A2cosh-μξA1cosh-μξ+A2sinh-μξ2.] （36）

式中：[ξ=kx+ct ， μ<0 ， A1、A2、c、k]是任意常数.利用辅助方程（28）的通解，当[A1、A2]取不同的值时，所得的解也就不同，例如取[A1>0、A21>A22]，则扭结波解（36）可以写成：

[uξ=-c2k+12k-μtanh-μξ+ξ1 ，]

[vξ=k22 μ+k22-μtanh-μξ+ξ12.] （37）

式中：[ξ=kx+ct ， ξ1=arctanhA2A1 ， μ<0 ， A1、A2、c、k]是任意常数.

③[ μ=0]，根据方程（28）的通解可以得到：

[GG=A2A1+A2ξ ，] （38）

式中：[A1、A2]是任意常数，把通解代入式（31）后，可以得到方程（8）的有理函数解：

[uξ=-c2k+12kA2A1+A2ξ ，]

[vξ=k22 μ+k22A2A1+A2ξ2.] （39）

式中：[ξ=kx+ct ， μ=0， A1、A2、c、k]是任意常数.

3 结论

当考虑取不同的参数时，方程求解出来的解也不同，因此用[（G/G）] -展开法及其改进的方法所求解出来的精确解丰富了（1+1）维BLP方程的解系.同时，[（G/G）] -展开法具有一定的普遍性和适应性，该方法不仅可以对一个方程进行求解，还可以对一族方程进行求解.因此[（G′/G）] -展开法确实是求解非线性偏微分方程精确解的一个十分有效的方法.

在求解本文的两个方程中，所构造的辅助函数[G]满足的方程除[G+λG+μG=0]和[G+μG=0]外，还可以考虑辅助函数[G]所满足的方程为[G2+qG2=p ， p≠0]，这可以找到方程更多的精确解.

参考文献

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[2]魏含玉，童艳春，徐冉.导数Manakov方程的Darboux变换及其精确解（英文）[J]. 数学杂志，2016（1）：6-16.

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[4]赵展辉，何晓莹，韩松.“三波法"在（2+1）维MNNV方程组中的应用[J].广西工学院学报，2012，23（3）：4-14.

[5]李二强，王明亮.（G'/G）方法及组合KdV-Burgers方程的行波解[J]. 河南科技大学学报（自然科学版），2008，29（5）：80-83.

[6]钟建新，刘建国.改进的G'/G-展开式法在广义Kuramoto-Sivashinsky方程中的应用[J].应用数学学报，2017（1）：136-143.

Solving （1+1） dimensional Boiti-Leon-Pempinelli （BLP） equation with（G[′]/G）-expansion method

FAN Zhiyi， ZHAO Zhanhui*

（College of Science， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： The nonlinear partial differential equation has been applied in mathematics， physics， mechanics， chemistry， biology and engineering. So it is significant to obtain its exact solution for the understanding of the nonlinear phenomenon. This paper studies BLP equation by using（G[′]/G）-expansion method and modified（G[′]/G）-expansion method， finding out the new traveling wave solutions.

Key words：（G[′]/G）-expansion method； modified（G[′]/G）-expansion method； （1+1） dimensional BLP equation； traveling wave solution； exact solution

（學科编辑：张玉凤）