基于BDS广播星历的卫星坐标拟合精度分析

刘双童,王明孝,杨树文,杨明泽,杨立华

(1.兰州交通大学 测绘与地理信息学院,甘肃 兰州 730070; 2.甘肃省地理国情监测工程实验室,甘肃 兰州 730070; 3.中国人民解放军68029部队博士后科研工作站,甘肃 兰州 730020; 4.兰州精准地形沙盘模型智能制造有限公司,甘肃 兰州 730020)

0 引 言

我国自主研制的北斗卫星导航系统(BDS)于2012年底正式向亚太地区提供定位、导航和授时服务,按照“三步走”计划,将于2020年为全球用户提供服务,人们对BDS的使用度和关注度越来越高[1-2]。获取卫星位置是进行定位导航的基础,实时定位导航一般是基于广播星历计算卫星位置[3],但往往需要反复计算,这会占用较多的内存空间和计算时间,影响效率。针对此问题,可将卫星星历表示为一个时间多项式,并将多项式系数保存到内存中。这样计算卫星位置时,只需调出多项式系数[4]。

目前对于GPS广播星历的拟合研究相对较多[5-20],对我国的BDS广播星历研究相对较少。BDS不同于GPS的单一星座系统,它为三类卫星轨道组成的混合星座,分别为地球静止轨道(GEO)卫星,中圆轨道(MEO)卫星,倾斜地球同步轨道(IGSO)卫星[5]。这三种轨道具有一定区别,因此本文利用切比雪夫多项式拟合法,独立探讨这三类不同轨道卫星的坐标拟合精度。

1 切比雪夫多项式拟合法原理

假定在时间间隔[t0,t0+Δt]内,对广播星历进行n阶切比雪夫多项式拟合。其中t0为初始历元,Δt为拟合时间区间长度。先把变量t∈[t0,t0+Δt]转换成τ∈[-1,1]:

(1)

那么卫星三维坐标分量可表示为

(2)

(3)

(4)

式中:n为切比雪夫多项式阶数;CXi、CYi、CZi分别是X、Y、Z坐标分量的切比雪夫多项式系数。切比雪夫多项式Ti(τ)用以下递推公式确定:

T0(τ)=1,T1(τ)=τ,Tn(τ)=2τTn-1(τ)-Tn-2(τ),|τ|≤1,n≥2.

(5)

利用间接平差方法来求解切比雪夫多项式系数。下面以Xi坐标分量为例说明其算法。

列误差方程,

V=TC-X.

(6)

其展开式为

(7)

基于最小二乘法,计算可得X坐标分量的切比雪夫多项式系数C,

膀胱癌患者95%的病理起源都是上皮组织,男性比女性发病率高,单发多发、大小等不同,有乳头状也有扁平斑块状。大部分的患者都是50岁之后发病,因无痛性血尿接受诊断,部分为膀胱刺激接受诊断。最常见的发病部位就是膀胱三角区近输尿管开口处,然后是膀胱侧壁。膀胱癌容易想膀胱内壁浸润,导致膀胱附近的组织和器官受到影响。肿瘤乳头断裂和坏死导致了血尿,部分患者因为膀胱黏膜受到刺激而出现尿急尿痛症状。肿瘤堵塞输尿管开口导致肾盂肾炎和肾盂积脓。

C=(TTT)-1TTX.

(8)

同理,可分别求出坐标分量Y、Z的切比雪夫多项式系数。将系数C,Ti(τ)代入式(2),式(3),式(4)中,就可以求出拟合区段内的任一时刻的卫星三维坐标。

2 BDS广播星历拟合精度分析

BDS广播星历每1 h发布一次,因此拟合时间段固定为参考历元前后0.5 h.从ftp://cddis.gsfc.nasa.gov/pub/gps/data/campaign/mgex/daily上下载了2018年3月15日的BDS广播星历,分别选取了UTC12时的C01卫星(GEO卫星)、C07卫星(IGSO卫星)、C13卫星(MEO卫星)的广播星历作为实验分析对象。

对这三颗卫星在11:30到12:30时间段进行轨道拟合,将利用直接法得到的固定时间间隔的卫星坐标作为已知节点,利用不同的拟合阶数,设置更为时间密集的检核点,在检核点上拟合出来的卫星坐标与直接法求得的卫星坐标对应求差,对残差进行数学统计,求出其绝对值的最大值、平均值及中误差,进行拟合精度分析。分两方面进行分析:当拟合时间间隔固定时,不同拟合阶数下的拟合精度;当拟合阶数固定时,不同拟合时间间隔下的精度。

2.1 不同拟合阶数下的拟合精度

将拟合时间间隔固定为5 min,共有13个已知节点;每30 s设置一个检核点,共有121个检核点,不同阶数下的卫星拟合误差统计结果如表1～3所示。

可以看出,拟合阶数与拟合精度有着紧密的关系。当拟合阶数较低时,其误差较大。在一定范围内,随着拟合阶数的增加,其精度得到提高。当拟合阶数接近节点数时,精度却开始降低。这三颗不同轨道类型的卫星所达到较高拟合精度的阶数略有不同。对于1号GEO卫星,当阶数取7～9时,其精度相对较高,X、Y方向的误差相对较大,最大值均低于3 cm,平均值约4 mm;Z方向精度相对较高,最大值甚至达到亚毫米级,平均值仅0.2 mm;7号IGSO卫星和13号MEO卫星都是在10～11阶时,拟合精度相对较高,最大值基本达到亚毫米,平均值稳定在0.2 mm以下。相对于BDS广播星历自身的米级误差,该拟合误差可以忽略不计。

表1 不同阶数下的1号GEO卫星拟合误差统计结果

表2 不同阶数下的7号IGSO卫星拟合误差统计结果

表3 不同阶数下的13号MEO卫星拟合误差统计结果

2.2 不同拟合时间间隔下的拟合精度

对1号卫星将拟合阶数固定为8阶,对7号和13号卫星都将拟合阶数固定为10阶,分析它们在时间间隔分别为3 min、4 min、5 min、6 min时的拟合精度。表4～6分别为这三颗卫星在不同时间间隔下的拟合误差统计结果。可以看出,在同一拟合阶数下,随着拟合时间间隔的增大,即拟合节点数的减少,其拟合精度在不断下降。但是其拟合精度下降的幅度相对较小,除了1号GEO卫星的残差最大值下降幅度为厘米级,其他的大部分都在亚毫米级。

表4 不同时间间隔下的1号GEO卫星拟合误差统计结果

表5 不同时间间隔下的7号IGSO卫星拟合误差统计结果

表6 不同时间间隔下的13号MEO卫星拟合误差统计结果

3 结束语

本文利用切比雪夫多项式拟合法,通过对2018-3-15的BDS广播星历中的三颗不同轨道类型的卫星拟合实验,得出以下结论:

1) 在同一拟合时间间隔下,拟合阶数与拟合精度有着密切的关系。拟合阶数过低或者过高(接近拟合节点数),其拟合精度都较差;在一定区间内,拟合精度与拟合阶数成正相关关系。

2) 当拟合阶数固定时,不同的拟合时间间隔,其拟合精度不同。一般来说,拟合间隔越大,即拟合节点数越少,其精度相对较低。

3) BDS中的三类不同轨道卫星在同一拟合时间间隔和拟合阶数下,其拟合精度不同。GEO卫星的拟合精度相对较差,IGSO卫星和MEO卫星拟合精度相对较好。