困惑的小蚂蚁

赵光义

[摘 要]通过具体问题对初中数学中常见的立体图形的表面最短距离进行了分析，能让学生辨析学习过程中出现的错误.

[关键词]最短距离；初中数学；立体图形

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0034-02

立体图形表面最短路径问题与生活实际联系密切，能多方面考查学生的知识与技能.在实际教学中，学生对这类问题的掌握过于机械，有时甚至公式般的套用，他们对具体问题不做深入的思考，针对不同情况，不做具体分析，以致错误.

问題1：如图1所示，有一个棱长为a的正方体，在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到顶点B处的食物，沿着正方体的表面爬行，则需要爬行的最短距离是多少？

分析：将正方体表面展开，如图2，连接AB，则线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短距离.在Rt[△]ABC中，AC=2a，BC=a，根据勾股定理可得：AB=[AC2+BC2=（2a）2+a2=5a].对于这一点，学生都能理解、掌握.但是，这个问题一旦放到长方体中，有的学生也就简单机械地模仿着这个过程来解决问题，往往会出错误.

如图3，长方体的棱长分别为a、b、c （a>b>c>0） ，在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到顶点B处的食物，沿着正方体的表面爬行，则需要爬行的最短距离是多少？

解：从点A到点B有3条不同的路径可选（如图4所示），长方体表面展开时，展开的方式不同，连接AB后，AB的长度也不相同（如图5、图6和图7）.

（i）如图5，当长为b、c的边展开后在一条直线上时，根据勾股定理，可得l1=AB=[b+c2+a2=a2+b2+c2+2bc].

（ii）如图6，当长为a、c的边展开后在一条直线上时，根据勾股定理，可得l2=AB=[a+c2+b2=a2+b2+c2+2ac].

（iii）如图7，当长为a、b的边展开后在一条直线上时，根据勾股定理，可得l3=AB=[a+b2+c2=a2+b2+c2+2ab].

∵a>b>c>0，∴l1< l2< l3.

所以，路径①的距离最短.

“小蚂蚁沿着立体图形的表面爬向另一个点去吃可口的食物，要求小蚂蚁爬行的最短路径”一类问题，当长方体的长、宽、高不等时，蚂蚁爬行有三种不同的路径，这三种路径中，到底是哪条路径最短，得通过计算比较，再做出选择.在这个问题中，学生往往机械地利用正方形的方法，不做仔细的思考，任选择其中的一种作为最短距离，容易出现错误.

问题2：如图8，在圆柱体中，在点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物，沿着圆柱体的表面爬行，则需要爬行的最短距离是多少？

解析：设圆柱体的底面半径为r，高为h，蚂蚁从点A，沿着圆柱体的表面爬行，到点B处吃食物，如何爬行，才能使得爬行路径最短？此时，有两条路径可以选择，路径①如图9：A-B；路径②如图10：A-C-B，但是哪一条路径更短呢？

路径①，如图11， 路径为l1=[AB=AC2+BC2=h2+（πr）2].

路径②，路径为l2=[AC+BC=h+2r].

（i）当l1> l2时，[h2+（πr）2]>[h+2r]，

得：[r>4π2-4?h].此时路径②较短.

（ii）当l1=l2时，[h2+（πr）2]=[h+2r]，

得[r=4π2-4?h]，此时两路线相同.

（iii）当l1

得[r<4π2-4?h]，此时路径①较短.

问题3：小河的同侧有两个村庄A、B.现想在小河边建一个水站，向两村庄送水，不考虑其他因素，要求所铺设的管道最短，求水站的位置，并求此时管道的长度.

解析：水站的位置有两种选择的方案，如图12和图13.

设A到直线l的距离为a，点B到直线l的距离为b，（a

如图12，l1=PA+PB=A′B=[m2+（a+b）2].

如图13，l2=PA+AB=[a+m2+（b-a）2].

（i）当l1>l2时， [m2+（a+b）2]>[a+m2+（b-a）2]，

即12[b2-3a2>4m2]时，l1> l2.此时路径②较短.

（ii）当l1=l2时， [m2+（a+b）2]=[a+m2+（b-a）2]，

即[12b2-3a2=4m2]时，l1=l2.此时两路线相同.

（iii）当l1

即[12b2-3a2<4m2]时，l1

（责任编辑 黄桂坚）