条件概率易错点探讨

李玲

[摘 要]条件概率是概率的一个重要内容，探讨条件概率易错点，能帮助学生走出误区，提高学生解决条件概率问题的能力.

[关键词]条件概率；易错点；探讨

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0009-01

条件概率[P（B|A）]和一般概率相比有着自身的特点，容易和两个事件同时发生的概率[P（AB）]相混淆.学生在审题时很容易出现偏差.下面以一道高考模拟题为例说明解决条件概率的三种方法.

题目：政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺问题，拟定出台“延迟退休年龄政 策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在 15～65 的人群中随机调查 100 人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年 龄的统计结果（略） .

若以 45 岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样抽取 8 人参加某项活动.现从这 8 人中（45岁以下6人，45岁以上2人）随机抽 2 人.抽到 1 位是 45 岁以下时，求抽到的另一位是 45 岁以上的概率.

分析：这是个条件概率问题.即求“抽到一人是45岁以下的条件下，抽到另一人是45岁以上的概率”，记“抽到一人是45岁以下”为事件A，“抽到另一人是45岁以上”为事件B，求[P（B|A）].这种情形下抽取是无序的.

解法一：用条件概率的定义[P（B|A）=P（AB）P（A）]计算.

[P（A）=C26+C16C12C28=2728，][][P（B|A）=P（AB）P（A）=372728=49].

解法二：用事件数之比[P（B|A）]=[n（AB）n（A）]求概率.

[n（A）]=[C16C12+C26]=27，[n（AB）=C16C12]=12，[P（B|A）]=[n（AB）n（A）]=[1227=49].

現在，我们将问题做以下引申，则所求的概率问题又会不同.

引申一：求“抽到的第1人在45岁以下时，抽到第2人在45岁以上”的概率.

这种问法必须考虑抽取的顺序.记“抽到第1人在45岁以下”为事件A，“抽到第2人在45岁以上”为事件B，即求[P（B|A）]，这种情形下抽取是有序的.

解法一：用条件概率的定义[P（B|A）=P（AB）P（A）]计算.

[P（A）=A16A17A28=68]，[P（AB）=A16A12A18A17=314]，[P（B|A）=P（AB）P（A）=31468=27].

解法二：用事件数之比[P（B|A）]=[n（AB）n（A）]求概率.

[n（A）]=[A16A17=42] ， [n（AB）=A16A12]=12，[P（B|A）]=[n（AB）n（A）]=[1242=27].

解法三：缩小样本空间.

第一次抽取的人不再考虑，第二次只能从剩下的7人中抽取，抽到45岁以上的可能有2种，则[P（B|A）]= [C12C17=27].

引申二：求“抽取的2人中1人在45岁以下，1人在45岁以上”的概率.

记事件A表示“抽取的2人中1人在45岁以下”，事件B表示“另1人在45岁以上”，该问题就是求[P（AB）].

解法一：抽取一次完成，该过程是无序的，概率为[P（AB）=C16C12C28=37].

解法二：抽取两次完成，这个过程是有序的第一次抽到45岁以下，第二次抽到45岁以上；另一种是第一次抽到45岁以上，第二次抽到45岁以下.

该事件的概率为[P（AB）=A16A12+A12A16A28=37].

求这两种情形下的概率问题时，对抽取的顺序有两种考虑，因此会出现两种解法.这两种解法的结果是一样的.因此解题时为了避免出错，对顺序的考虑必须把握一个原则：总事件数和所求事件包含的事件数要么都考虑有序，要么都考虑无序.

引申三：求“抽取的2人中第1个人是45岁以下，第2个人是45岁以上”的概率.

记事件A表示“第1个人是45岁以下”，事件B表示“第2个人是45岁以上”，该问题也是求[P（AB）].这种情形下抽取的顺序就是有序的，因此概率为[P（AB）=A16A12A28=314].

（责任编辑 黄桂坚）