寻找适合学生理解的思维“通道”

◇陶 锋

苏教版教材六年级上册第四单元“解决问题的策略”练习十一的思考题如下：

小华和小力出同样多的钱买一箱苹果，结果小华拿了8千克，小力拿了12千克。这样，小力就要给小华16元。苹果的单价是多少元/千克？

对解答过程进行统计，结果如表1所示：

表1

用方法（1）的学生的思维过程是：用两条线段分别表示小华和小力所拿苹果的千克数（如图1），明显可以看出小力比小华多拿了4千克，小力给小华16元，4千克对应着16元，所以用16÷4计算苹果的单价。看似无懈可击，实际上忽视了隐蔽条件——“小华和小力出同样多的钱买一箱苹果”，这个条件意味着小华和小力应该分得同样多的苹果，从而要把两个不相等的数量变得同样多。用方法（2）的学生的思维过程是：通过移多补少，小力比小华多的一半给小华，即4千克的一半是小华应得的，所以2千克苹果对应16元，从而求出苹果的单价。用方法（3）的学生的思维过程是：先合并再平均分，8+12=20（千克），20÷2=10（千克），12-10=2（千克），小力多拿了2千克，对应16元，从而求出苹果的单价。

图1

无独有偶，这单元的练习中出现了类似的题目，学生的错误率仍然很高。克鲁捷茨基经过研究发现，在数学解题过程中，解题者都具有一种用数学语言解释问题能力的倾向，这就是所谓的“数学气质”。他认为数学气质有三种类型：（1）分析型，倾向于用语言—逻辑的方式思考；（2）几何型，习惯于用视觉—形象的方式思考；（3）混合型，综合上述两种类型。在解题时，小学生应努力完善语言—逻辑和视觉—形象这两方面的相互转换，在一定程度上依靠数学意向，把数学关系视觉化，对比较抽象的数学系统也做出一种形象的解释，也就是借助形象化。图1虽然也借助了形象化，但侧重于语言—逻辑的思考。假设小力不给小华钱，用其应得的苹果和实际得的苹果比较，从而找到16元对应2千克，而非4千克，但从线段图上很难一眼看出这一对应关系。如何让学生发现该对应关系呢？可以从两人出同样多的钱入手，找其对应的数量。

先画两条同样长的线段，表示两人出同样多的钱（如图2），小力给小华16元，说明小力多花了16元，小华少花了16元，这时小力对应的苹果是12千克，小华对应的苹果是8千克，从图中可看出小华和小力相差的4千克对应16×2元。条条道路通罗马，解题思路小改动，换来好效果。小学生分析问题偏向视觉—形象型，教师要选择适合学生理解的思维“通道”——借助形象化，当然，也要发展学生用语言—逻辑分析问题，否则视觉—分析型能力的提高也就变成缘木求鱼了。

图2