借助直观模型在数数活动中促进学生思维发展

◇黄利华 范 薇 王昊喆

“数（shù）起源于数（shǔ）”, 为了帮助学生理解大数的意义，北师大版教材二年级下册第三单元“生活中的数”，设计了“数一数（一）”“数一数（二）”“拨一拨”三节课的内容，分别引导学生感受“千”“万”及数位顺序、万以内数的读写。在编写过程中，考虑到学生对万以内数的接触较少，教材提供了计数器、方块等直观模型，帮助学生直观体会位值概念和“满十进一”的道理。

那么，如何充分利用直观模型，深入挖掘数数的教育价值？如何将操作、思考、想象相结合，借助计数单位直观模型建立千的表象与观念呢？如何在认识大数的同时促进学生思维逻辑性、灵活性、深刻性的发展呢？基于此思考，我们对 “数一数（一）”（千以内数的认识）进行了教学设计与实践。

活动一：同构拨计数器活动，促进学生主动思考

教材安排了如图1的拨数活动。个、十、百是学生已学的计数单位，教学时，借助计数器的直观模型进行计数，先在计数器上由9拨出10、由99拨出100，以激活学生对计数单位、数位及十进制的已有经验。在此基础上，鼓励学生类推设计拨数活动，思考在999的个位上再添1个珠子是多少，并在计数器上由999拨出1000，激发学生对拨珠子的活动进行深入思考与联想，体会1000就是999再多1。

图1

师：个位上拨1个珠子表示1个几？

生：（齐）表示1个一。

师：继续拨下去，9个一了，个位上再拨1个珠子，你们能想到什么？

生：满十进一了，要把个位上的10个珠子拨回去，用十位上的1个珠子代替。

生：10个一就是1个十。?

师：接着拨下去，十位上拨9个珠子，个位上也拨9个珠子，现在是多少？

生：（齐）99。

师：个位上再拨1个珠子，你们又想到什么？

生：又满十进一了，把个位上的10个珠子拨回去，向十位上拨1个珠子；把十位上的10个珠子拨回去，用百位上的1个珠子代替。

生：10个十就是1个百。

师：猜一猜下面我会拨什么数。

生：老师前面拨了 9，又拨了 99，我猜该拨999了。

生：而且还要在个位上添1个珠子。

师：好！就如你们所说，我们接着拨出999，个位上再拨1个珠子，你们又想到什么。

生：个位上再拨1个珠子就是一千了，在千位上拨1个珠子，其他珠子都拨回去。

师：10个一就是1个十，10个十就是1个百，10个百就是1个千。一千到底有多大呢？今天我们来体验体验。

活动二：自选材料找一千活动，促进学生思维深刻性

皮亚杰认为，数（自然数）不是某个东西的名称，它是事物与事物之间的相互关系，表明的是一个物体在一个序列中的位置以及一组物体中包含了多少个物体，这种关系不是直接用语言来教的，而是儿童通过感知、操作活动在动作中体验、发现、创造的。为此，我们为学生提供自选活动材料的学习空间：人民币——结构化的实物模型；散乱的方块——齐性直观模型；条、片、体的方块——齐性结构化直观模型；装在桶中的200粒豆子——齐性实物模型。选择模型材料找一千的过程，就是将模型对比感知的过程。在齐性与结构化模型的对比选择中，学生体会到计数单位的作用；对齐性、散乱的方块，学生可通过圈出一百个方块的方法创造计数单位，估计一千有多大。

自选材料找一千的活动，有利于学生建立计数单位的直观模型表象，体会计数单位间的十进关系，同时，也发展了学生的估算意识，培养了思维的深刻性。

师：老师为每组同学提供了4种活动材料，在限定时间内，大家以组为单位自选材料寻找1000，看哪组能找到更多的1000。

材料一：人民币100元8张，50元2张，20元3张，10元12张（如图2），找到1000元。

图2

材料二：散乱的方块图(如图3)，数出1000个方块。

图3

材料三：结构化的方块图 （如图4），数出1000个方块。

图4

材料四：装有200粒豆子的瓶子（如图5），猜想1000粒豆子装在瓶子里有多高。会是满满一瓶吗？

图5

小组活动后全班交流。

1.人民币模型。

师：选择找1000元的组请举手，说说为什么选它。

（全班学生都举手）

生：我们认为好数，有几张整百的，剩下50、20、10元的也容易凑成 100,10个100元就是1000元了。

师：请你们组到前面展示找1000元的过程。

生：我们先数100元的，有8张，就是800元；再用2张50元的凑出一个100元；再拿3张20元的是60元，添上4张10元的就是100元。这样就是10个100元，也就是1000元了。

师：很讲究策略，首选大单位100元的，如果不够再用小单位整十的凑100，凑的时候抓住了10个十是100,10个百是1000。

2.散乱的方块图。

师：哪个组选择图3数出1000个小方块了？

（一半学生举手）

生1：太多了，一个一个地数太慢了，我们没有选择。

生2：太难数了！我10个一圈，但没数完。

生3：我也觉得不好数，所以我用估的方法。我先数出50个方块，估计出100，再根据100个方块的宽度，圈出这样的9条，合起来就大概是10个100，也就是1000个方块了。

（全班学生自发为生3鼓掌）

师：你们为什么鼓掌？你们学到了什么？

生4：他想到了估的方法。

生5：他先找到50，再找到100，再找到1000。

师：估的过程中利用了千与百的关系，而且通过条的宽度找到了估的标准，真会解决问题。

3.结构化的方块图。

生1：图4中已经有8片，就是8个百；然后数10条凑1个百；下面还有8条，不够100，就接着数20个方块，2个十和8个十凑成10个十，就是100。一共是10个百了，就是1000了。

生2：我提个建议，可以把凑成的100圈起来，这样就更清楚了。

师：生2的建议很好，有时候我们不仅可以用语言表达，画图也可以。

4.装有200粒豆子的瓶子。

师：1000粒豆子会不会是满满一瓶呢？

生1：我觉得不会，200粒有这么高，（边比画边说）1000粒有5个这么高，这么往上比就出去了，所以一瓶装不下1000粒。

生2：装得下。我是把瓶子躺着放，200粒这么高，5个这么高能装下。

生3：躺着放不行。下面不平是曲的，标准不一样，所以还是要立着放瓶子。

生4：我是竖着放的，我们认为一瓶装得下1000粒。我用尺子量了，200粒有1.5厘米高，1000粒大约有瓶子的8厘米高，到这里，所以装得下。

（学生纷纷点头）

师：大家都想到了以200粒的高度为标准，推测1000粒有多少，而借用工具帮助估计也是一个很棒的策略。

活动三：鼓励学生交流对话，促进学生思维批判性

对数学知识的学习，学生要经历一个逐层深入、循序渐进的过程，正确答案的背后也可能会隐藏着一些误解或模糊认识。如由于大立方体的内部方块被遮挡，它作为一千的直观模型，对二年级学生来说接受起来有一定的难度，虽然部分学生认可它是一千的模型，却不能结合模型清晰解读10个100的原因。

因此，在教学中，需要教师借助直观模型，使学生的思维过程得以直观呈现，促进学生在表达与交流中洞察、识别各种信息，鼓励学生针对自己的困惑进行质疑、追问，在交流对话中让自己的认识清晰，发展思维的批判性。

师：哪个组选择在图4上数1000个方块？说说你们的想法。

组1：我们发现图上的一片就是100个，一条就是10个，好数！我们还发现下面这个大方块就是由1000个小方块组成的。

组2：我有不同意见。我们认为这个大方块是由600个小方块组成的。这个大方块有6个面，每个面是100个，所以是由600个小方块组成的。

组1：这个大方块是实心的，它里面还有呢，所以是1000个小方块。

组3：就算它是实心的，你又怎么能说明里面正好就是400个小方块呢？

（非常精彩的互动与追问，组1与组2清晰表达自己的想法，而组3严谨追问每个结论背后的道理与根据，这个过程就是深度学习了）

师：我们听听组1完整的想法。

组1：我们先看正对着我们的最外面的一片，横着数和竖着数都是10个，所以这面就是10个10，就是100个小方块，我们可以把整个大方块拆成这样的10片。

（学生边指边说，其他学生恍然大悟。教室里再次响起热烈的掌声）

师：（面对组3）说说你们明白什么了。

组3：我们明白了，他是这么一片一片看的。一片是100个，共有10个，也就是10个100，所以是1000个。

师：我们来看一看课件演示（如图6）。

（教师动态演示，帮助全班建立千的直观表象）

图6

活动四：数形结合数数活动，促进学生思维灵活性

随着学生对大数认识的不断深入，教师鼓励学生在数数过程中突破一个一个计数的局限，灵活选取计数单位：一百一百地数、一十一十地数、一个一个地数……同时，教师根据学生所选的计数单位，呈现计数模型随数数累加变化的过程，以“视觉”支撑学生对不同计数单位对应的计数方法的理解。特别是从899到900、897到907、999到1000等学生易错，或计数单位发生变化的地方放慢速度，三次“变形”（10个小方块变为一条；10条变为一面；10面变为一体）让学生在数数中再次直观感受到计数单位间的十进关系，将数数的过程与计数直观模型的变化过程有机结合起来，进一步加深学生对计数单位、十进制关系的理解，培养学生思维的灵活性。

师：从887数到1000可以怎样数？

生 1:887、888、889、890、891、892、893……

师：他是怎么数的？

生：（齐）一个一个往上数的。

师：还可以怎样数？

生 2：887、897、907……997,998、999、1000。

（教师随学生数数的过程，呈现直观模型的变化。图略）

师：这样数快了一些，还有更快的方法吗？

生3：可以先一百一百地数，再一十一十地数，再一个一个地数，这样更快。

师：大家一起数数看。

生：（齐）887，987、997，998、999、1000。

（教师随学生数数的过程，再次呈现直观模型的变化。图略）

在直观图的变化过程中，特别体现10个小方块变成一条，凑成1个十，10条变成一面，凑成1个百的过程，借助模型体会满十进一，进一步促进对相邻计数单位之间十进关系的理解。

我们认为，读懂教材直观模型，合理并有效使用直观模型，对学生认知发展非常重要。因为直观模型是教材为学生提供的认识概念、理解算理的重要抓手，更是学生自主探究、交流表达的数学工具，借助直观模型可以充分暴露学生的思维过程，揭示数学知识发生、发展、变化及抽象概括的过程，有利于激活学生的学习经验，有效促进学生主动思考。