应用意识的内涵及实施策略（上）

◇张 丹

提到应用意识，我愿意首先提及美国国家研究委员会数学科学委员会2012年发布的报告“2025年的数学科学”。而在20世纪最后十几年，这个委员会曾先后发布两份重要报告：“人人关心数学教育的未来”“振兴美国数学——90年代的计划”。

早在1989年，报告“人人关心数学教育的未来”中就已经提到了数学的惊人应用：“数学的惊人应用已在自然科学、行为科学和社会科学的全部领域出现，在现代科学的任何部分都已打上了抹不掉的数学印记，就像科学本身也推动了许多数学分支的发展一样。”

23年之后，2012年的报告“2025年的数学科学”中指出：“每个人都应关注数学科学。数学不只是研究数字，数学还处理几何图形、逻辑模式、网络、随机性和不完整数据预测等。数学科学几乎渗透到日常生活的各个方面。”为此，报告中还列举了美国的一个普通男人（鲍勃）和一个普通女人（爱丽丝）的日常生活中是如何与数学产生关系的：“无论他们知道与否，他们的生活都强烈地依赖于数学科学，他们被包裹在数学科学各分支领域编织的复杂网络中。”报告明确给出了如下建议：“数学教育工作者应当向中小学生和本科生说明他们所教的数学科学主题的作用，以及有哪些职业会利用这些数学科学主题。”

正是基于这样的共识，我们需要鼓励学生带着数学的眼光去观察、去思考、去表达我们所生活的这个世界，发展他们的应用意识应该成为数学教育最重要的目标之一。

一、应用意识的内涵

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》对“应用意识”是这样描述的：“认识到现实生活中蕴藏着大量的数学信息，数学在现实世界中有广泛的应用；面对现实问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其现实背景，并探索其应用价值。”这三个方面，不仅仅关注学生的认知方面，更关注学生学习数学的情感动机。换言之，希望学生能够意识到数学在现实生活中有着广泛的应用，能够主动尝试用所学的数学知识解决一些问题。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，对“应用意识”进行了如下的刻画：“一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中，都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。”可以简单地说，这两个方面就是有利用数学的概念、原理和方法解释生活现象和解决问题的意识。

比如，走进一个教学研讨的会场，我们发现第一排大约30人中，只有3位男老师，另外27位都是女老师。从数学的角度思考，我们会提出哪些问题呢？比如，为什么第一排的男老师比例这么低？是活动现场所有男老师的比例就这么低吗？这是生活中的一个现象，我们可以使用哪些数学原理来解释这个现象？是从小学教师性别比例去解释，还是从不同性别的老师在选择座位时的行为习惯来寻找原因？如果我们有意识地观察，就会发现生活中蕴含着大量的数学信息，可以抽象成数学问题，并运用数学知识和方法来解决。

综上，我认为应用意识具体体现在如下四个方面：①认识到数学是有用的；②有意识地发现生活中的数学信息和问题；③主动尝试去解释现象、解决实际问题；④积极寻找数学对象的实际背景。当学生有“用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的愿望，并主动思考、积极行动时，就说他们具有了应用意识，用一个等式可以简洁地表示为：尝试愿望+主动思考+积极行动=应用意识。

二、努力让学生与所学内容有“第三类接触”

《为未知而教，为未来而学》一书的作者戴维·珀金斯是美国著名教育心理学家，哈佛大学资深教授，从事教育心理研究多年。珀金斯在这部作品中强调了两点，一点是知识的生活价值，另一点是激发学生强烈的好奇心。书中提到了所谓的“第三类接触”，也就是让更多的知识在生活中具有价值。

《第三类接触》是美国的一部科幻电影，1977年正式上映。影片讲述的是世界各地发生神秘事件，之后一批外星人来到地球，和地球人做心灵沟通的故事。实际上，地球人和外星人的接触分为三类：一是只看到了外星人的飞船；二是发现了外星人遗留在周围环境中的证据；三是直接看见了外星人，并且与外星人有面对面的交流。

小学阶段大量的内容在生活中有着广泛的应用，每位教师都需要叩问自己：实际教学中，我是否为孩子和这些内容提供了真正进行第三类接触的机会？正如“2025年的数学科学”所举的鲍勃和爱丽丝在生活中遇到的事情一样，数学应用的例子几乎与我们形影不离。下面列举两例。

生活中，我们用的杯子基本上都做成圆柱或圆台的样子（如图1），但机场的一次性水杯有不少是圆锥形的（如图2）。为什么要把纸杯做成圆锥形的？这个水杯的底面半径与高的比是如何确定的？纸杯的容积是如何确定的？与普通人喝一大口水的量是什么关系？

图1

图2

我们乘火车或飞机，都要对行李进行扫描以进行安全检查，安检仪扫描出的图像如图3所示，安检员要通过观察这样的图像，判断其中是否有危及公共安全的物品。他们是如何将图像与实物建立联系的呢？如何由图还原为实物呢？

图3

其实，在小学数学中有不少根据图还原实物的活动，如观察物体的内容。我曾经听过这样一节课，学习观察物体后，一名学生发现：“用教材中的方法，不能确定图4中间是否有凹槽。”（此案例来自北京大学附属小学四年级的学生。学生的意思是，图4上面一层中间是否有小方块，用教材中画三视图的方法不能确定）

图4

带着对这个问题的好奇，学生“创造”了很多方法来确定这里到底有没有凹槽。比如，对于图5左上角的几何体，学生想到了不同的方法：可以用阴影表明凹凸，可以一层一层表示，还可以画对钩表示。

图5

数学科学其实离我们并不遥远，几乎所有的小学数学内容都能在生活中找到生长点。要让学生和数学发生第三类接触，发展学生的应用意识，最关键的是在数学学习的全过程中关注数学的应用，让学生的应用意识在润物细无声中萌芽、成长。基于这样的认识，北师大版教材（以下简称“教材”）确立了“问题情境—建立模型—解释与应用”的基本叙述方式，希望从一年级到六年级，都是从学生喜闻乐见的一个或一组与课程内容有内在联系的特定情境出发，展开一组问题，学生在教师的引导下理解情境、解决问题，而这个过程，就是学生学习数学、理解数学、应用数学的过程，也是应用意识发生和发展的过程。

三、发展学生应用意识的建议

如何发展学生的应用意识呢？以下给出六个方面的建议，供大家参考。

1.创设实际情境，体现知识的形成和应用过程。

这里的实际情境，应该是有趣的、现实的、蕴含数学意义的、富有一定挑战性的，既能引发学生学习的兴趣，也能让学生了解数学知识的来龙去脉，体会知识的形成和应用过程。

一些重要数学概念的形成，往往要经历一个漫长的过程，虽然我们无法让学生完整地还原整个过程，但一个真实可感、富含意义、令人着迷的情境设计，可以帮助学生体验这个过程。

以“比的认识”为例。比是数学中一个重要的概念，史宁中教授指出“比是两个数量倍数关系的表达或度量”[1]，这种倍数关系，能够帮助我们对现实生活问题进行表达，而且这种关系能够让我们度量现实生活中的问题。为此，教材创设了“图片像不像”这样一个与学生的生活经验联系密切的情境，如图6所示。

图6

为了使这个情境更加“真实可感”，北京市海淀区实验小学在教材情境的基础上，设计了在电脑上拉动照片的活动。由于拉动方式的不同导致图片的形状发生了变化。那么，几幅图片中，哪些没有变形？学生在操作和思考中，体会到必须结合长方形的长和宽两个要素，才能表达图片像不像，有没有变形，而这种表达，需要借助除法，借助倍数的关系。

在此，或许有学生会产生这样的疑问：有了除法和分数，我们为什么还要学习比呢？这是学生自然生发的问题，我们需要面对，让学生体会比表达了两个数量之间的关系。我曾经和一名学生有过这样的讨论：

师：我们为什么要学比？比如，1份甘蔗汁2份水，你是愿意写成，还是愿意写成1∶2呢？

生：我愿意写成 1∶2。

师：为什么？

生：1∶2 就像一个模子，你有了 1∶2 以后，“1”可以装很多东西，“2”也可以装很多东西，1∶2 这种关系看得更清楚。要是写成，我还要想一想。

师：比如，金龙鱼调和油，1∶1∶1……

生：这好像就很难写成分数或除法了。

正是为了帮助孩子理解“比”这种数量之间关系的表达，教材在“比的认识”一课的“试一试”中，设计了如图7所示的情境，借助“甘蔗汁”“树高和影长”的素材，帮助学生理解。

图7

那么，如何理解“度量”呢？我们仍然可以回到生活中。对于比较，学生有很多经验，比高矮，比大小，那么，如果要比较糖水甜不甜，应该怎么办呢？学生会发现，只看糖的多少不行，还要看水的多少，要把糖和水的关系刻画出来，这就是关于甜不甜的一种度量。由此，比既是“模子”，你只要知道1∶2，那么只要满足1份和2份的关系即可；比又是一把隐性的“尺子”，可以量一杯水甜不甜，量一个人走得快还是慢，量这个商品的价格贵还是便宜，量斜坡陡不陡……

当然，除了教材中提供的素材，生活中其实还有很多类似的例子。比如，“蚂蚁和大象谁是大力士”，要判断是不是大力士，除了跟它举起来的物体的质量有关，还跟其自身的质量有关，那么，就可以用这两个量的比来刻画。再如，一个人的胖瘦不仅和体重有关，还和身高有关，所以用体重（千克）比身高（米），就可以得到一个定义胖瘦的比。那么，这个比是否合适呢？就要看其是否更好地反映客观现实。人们经过调整发现，其实体重（千克）比身高（米）的平方（其比值即BMI指数），刻画得更好。

在《小学数学教科书中的比及其教学》一文中，史宁中教授还列举了“夏普比”“信噪比”“优度比”等例子，并进一步阐述道：“如果要对一个事物的优劣进行度量，可以探寻影响优劣的关键要素，然后基于关键要素之比构建度量指标。基于这个思路，可以根据生活中的经验创设教学活动，让学生在这样的活动中感悟数学是如何利用两个数量的比合理地分析和解决问题的，并且让学生逐渐建立这样的理念：可以人为地建立各种度量指标，判断度量指标好坏的标准就是是否更好地反映客观现实。”在现实生活中，如果我们要度量一个事物，可以探寻影响事物的关键要素，然后找到各关键要素之间的关系，这种关系如果恰好是倍数关系，那就建立了一个比，这就是比的现实来源和数学本质。当然，这些例子小学生不一定能够全部理解和接受，但我们希望学生可以学会这样思考，并以此去观察和解释生活中的现象。我们希望学生能够在生活中寻找到这样的例子，能够真正感受到与“比”的第三类接触。

联想到发展学生的应用意识，那么，数学教育的投入和回报是否也是一种比呢？在这些比中，哪些是正向的（起促进作用）？哪些是负向的（起阻碍作用）？或许每个人心中都会有一个公式。不过我想，应用意识一定是在正向的位置上。

2.鼓励学生从生活中发现和提出问题。

儿童是充满好奇心的，他们的学习过程就是一个不断发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。正如一名儿童这样描述自己对学习的理解：“学习就是你带着很多很多问题，然后尝试去解决它们，接着又产生了很多很多新的问题，再去解决，如此反复的过程。”学生的很多问题来自于他们的现实生活，而学习的源头就可以是他们在实际情境中发现和提出的问题。

老师们可能都有这样的经历，二年级学习乘法口诀时，学生往往兴致不高，不少学生已经会背口诀了，缺乏学习的需要。一位老师在教学中，带领学生观察现实生活，并聚焦在购物时物品的包装上（本案例由北京教科院丰台实验小学提供，图略）。

2个一包、3个一包、4个一包……不同的物品，一包中物品的数量不同，学生在认真观察后，提出了很多有意思的问题，基本上可以分为两类。一类是跟乘法相关的，如“一盒a个，买了b盒，一共有多少个”“一排x个，有y排，一共有多少个”“一盒m元，买n盒，一共多少元”。其实，学生共同把这些问题解决了，也就学习了乘法口诀。另一类则是其他问题，如“为什么会设计那么多包装”“同样的笔，为什么有的笔要包成4支一包，有的笔要包成6支一包”“为什么酸奶2个一行，但鸡蛋要摆成3个一行”“是不是7个一包的会少一些呢”“每盒口香糖中的数量一样吗”“东西买走后，超市是否还会有这种东西呢”。这些问题来源于他们的日常经验和好奇心。正是因为有了开放的情境和丰富的素材，学生才有了在生活中发现和提出问题的意愿，应用意识自然生长。

在北京市海淀区实验小学，在教学“比的认识”和“百分数的应用”的相关内容时，为了让学生能够真正发现和提出自己感兴趣的实际问题，教师通过精心设计，让学生经历了实际体验、数学实验等。学生发现拉伸照片时，要刻画照片变形不变形，需要数学，水结成冰后体积变大了，怎么描述变大的情况，需要数学，甚至有孩子提出来：“是清水变成冰后体积变大的效力大，还是糖水变成冰后体积变大的效力大？”在两个单元学习结束后，教师对这个班的学生进行了一次访谈，询问：“这两个单元中你认为学习的最重要的事情是什么？”39名学生中有23名都表达出，最重要的是学会了“用数学的眼光观察世界”。学生的语言质朴却打动人心：“生活中很多东西都可以用数学来表达，我们学到了观察生活中很多看似平常的事，可以深入思考为什么，怎么它就变成这样，这样做有什么依据吗……”

在这样的活动中，学生亲身体验和发现问题，他们真正感受到生活中有数学，学会了用数学的眼光看世界，当然也感受到学习数学的快乐。有一个学生这样说：“太有意思了，我学会了怎么去思考。原来我们在学习过程中，A就是A，B就是B，没有任何联想。现在让我去联想，我也有了探索的精神……”由此可见，培养学生发现和提出问题，是发展学生应用意识很好的手段之一。