逐层深入促建模——以“乘法分配律”为例

◇朱月萍

一、解决生活问题，感知模型

师出示：学校乒乓球队购买运动服，上衣每件50元，短裤每条35元，买4套，一共需要多少元？

师：要求一共需要多少元，你会列式解决吗？大家试一试。

（学生独立完成，教师指名回答，说说你是怎么想的）

生：我先算1套衣服多少元，再求4套一共多少元，列出的算式是（50+35）×4=340（元）。

师：你表达得很清楚，回答得也非常完整，真棒！有不同的方法吗？

生：我先求出 4件上衣多少元，用 50×4=200（元），再求出 4条裤子多少元，用 35×4=140（元），最后把它们加起来就是总的价钱340元。

师：请把你列的式子完整地再说一遍。

生：50×4+35×4=340（元）。

师：刚刚两位同学用不同的方法解决了这个问题，你们有什么发现？

生：算式不同，但结果是一样的。

师：那就说明了这两个算式是——

生：是相等的。

[教师适时板书：（50+35）×4=50×4+35×4]

思考：新课标要求“建立模型首先要从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”。本环节通过现实生活情境呈现数学信息，在学生列式计算的基础上，引导学生结合情境说算理，从乘法的意义出发帮助学生初步感知乘法分配律的数学模型。用买衣服的情境替代原教材（苏教版教材）中领跳绳的情境，为后续探究活动中借助图形直观，促进有效建模提供了一个系列化的素材。

二、看图写算式，初现模型

师出示材料（如图1）。

图1

师：你能说说这幅图表示什么意思吗？

生：足球队要买12套运动服，每件上衣45元，每条短裤28元，一共需要多少元？

师：解决这道题可以有几种算法？

生：第一种，横着看，等式是 45×12+28×12；第二种，竖着看，等式是（45+28）×12。

师：你们听明白他的意思了吗？横着看，其实就是求什么？

生：横着看，就是分别求出12件上衣和12条短裤的价钱，再相加。

师：那竖着看又表示什么？

生：竖着看就是先把一套衣服的价钱算出来，再乘12。

师：两个算式相等吗？可以写成哪一个等式？

[根据学生回答， 教师板书：45×12+28×12=（45+28）×12]

师：任何事物都可以从正反两方面去看，那么这个等式，调换一下左右两边的算式还成立吗？

[根据回答，教师板书：（45+28）×12=45×12+28×12。教师引导学生观察黑板上所有等式，发现特点，引发猜想]

思考：小学生的数学学习，正处在具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，借助几何直观可以把抽象的数学问题具体化。所以，本环节设计了一个简单的实物图，通过简化文字，既培养了学生读图、说图的能力，又加强了“图”与“式”的观察对比，学生通过横着看、竖着看，将算式与乘法的意义联系起来，进一步在理解算理的基础上发现等式的特点。

三、看算式画图，建立模型

[师出示：（37+18）×6]

师：看来大家读图的本领还是蛮厉害的。这次，老师给你们来点儿高难度的。这儿有一个算式，请你们根据自己的理解画出示意图。

（学生独立完成，教师巡视。投影反馈：说说你是怎么想的）

作品 1：如图2。

图2

学生借助简笔画，想象购买衣服的情境，说明算式表示先求1套衣服多少钱，再求6套衣服多少钱。教师引导学生用其他方法解决本题，最后得出（37+18）×6=37×6+18×6。

作品 2：如图3。

图3

学生结合学过的长方形的面积知识，用37和18分别表示两个长方形的长，6表示两个长方形的宽，算式表示用大长方形的长×宽求出大长方形的面积。教师顺势追问，这个大长方形的面积还可以怎么求，也得出（37+18）×6=37×6+18×6。

作品 3：如图4。

图4

师：这位同学用简单的图形代替具体的实物。其实这里的图形就是我们抽象出来的一种数学符号。在这道题里，三角形表示37，正方形表示18，在其他情境或者问题中，它们还可以表示其他的数吗？换成其他数时这个等式还能成立吗？

生:我用60表示三角形，30表示正方形，通过计算，我发现（60+30）×6=540，60×6+30×6=360+180=540，两个算式结果相等。

生：我觉得不需要假设也不需要计算，直接通过看图理解就可以了。第一个算式是竖着看的，先求一组三角形和正方形的和，再求6个这样的和是多少；第二个算式是横着看的，先分别求出6个三角形和6个正方形分别是多少，再相加。

教师在肯定评价的同时，引导学生得出：（△+□）×6=△×6+□×6。

那如果把6换成20，这个等式能成立吗？换成100呢？是否也可以用符号来表示这里的“6”？

最后引导学生概括出：（△+□）×○=△×○+□×○。

师：请大家用自己的话说一说这个等式的意思。

生：老师，这个用图形符号表示的数，说起来有点拗口，我想用字母来表示数，可以吗？

师：你真是个善于思考又敢说的孩子！你说说看。

生：我用字母 a、b、c 来表示，式子是（a+b）×c=a×c+b×c。

师：刚刚大家总结出来的这个规律，在数学上叫作乘法分配律。（板书课题）这位同学概括出来的就叫作字母式子，它比文字简洁，读起来也比图形符号更顺口。

思考：原教材中“再写几个这样的等式”是让学生在模仿中形成表象、寻找规律，从而归纳出基本模型。但在以往的教学中发现，很多学生能够熟记公式，但不会灵活应用，只因为教学时注重了乘法分配律的外形结构，却往往忽略了对它的内涵理解。本环节在看图写算式的基础上，尝试引导学生逆向思维，看算式画图，进一步通过“式”与“图”的对应，“数”与“形”的结合，帮助学生理解算理，强化对乘法分配律意义的理解。展示交流时，有意识地对画图的方法进行指导，使学生明白数学的图是用抽象的符号代替具体的实物，培养了学生的抽象思维能力，增强了符号意识，也为后面学生自主地抽象、建构数学模型作了铺垫。

四、看算式想象，拓展模型

[师出示：（50-35）×4=？]

教师要求学生猜一猜、写一写，反馈时发现大多数学生根据乘法对加法的分配律公式仿写出了乘法对减法的分配律：（50-35）×4=50×4-35×4。

师：我们来验证一下这样的猜想对不对。请同学们闭上眼睛想一想，左边的算式表示的是什么意义？如果画图，是怎样的？

学生举例验证，有想象成买衣服场景的，求4件上衣比4条裤子多多少元，也有同学想象成求两个长方形的面积差。通过交流，最后也概括出字母式子，即：（a-b）×c=a×c-b×c。

师：同学们通过猜想、验证，发现将乘法分配律中“两个数的和”换成“两个数的差”，乘法分配律依然成立。大家还有没有什么想要说的？

生：把乘法分配律中的“两个数的和”换成“三个数的和”，乘法分配律也成立。

师故作思考地问：成立吗？

生：三个数的和我就想象成买上衣、裤子还有鞋子。

师：因为时间关系，这里我们就不展开讨论了。关于刚才这位同学的猜想，留给大家课后去验证。

思考：教学中，很多老师觉得乘法对加法的分配律学生理解了，通过类比推理，把加号改成减号，学生很容易掌握（a-b）×c=a×c-b×c，不需要花费过多精力。但其实这样处理，学生更多的是停留在从一种形式到另一种形式的机械认识、表面理解上，缺乏直观的感知和深刻的认识。本环节的设计，培养学生从抽象的数、式联想到直观的几何形象，使学生看到（a-b）×c=a×c-b×c这个模型时，头脑中浮现的是一个动态的、立体的数学。同时，也教给学生一种学习的方法，就是在数学中，无论是抽象的符号、概念还是数量关系，都不是凭空而来的，我们要学会挖掘相关的直观形象，使抽象与直观有机统一，帮助学生发现本质联系，加深理解。