浅谈如何证明平面几何题

刘敏红

平面几何是以平面图形为研究对象，以推理、论证为主体的学科。初学几何，同学们对建立概念、分析问题、探求思路等都感到困难。下面谈谈证明平面几何题的一般思路。

一、审题

审题就是弄清楚题目的意思，即把已知条件、求证结果、图形三者表达清楚，理解明白，在头脑中有个整体的认识。可采取如下的方法：

（一）列表法。就是把已知条件、求证结果、图形三者用表格表达出来，例如：求证全等三角形对应边上的中线相等。

（二）图形表达法。把已知条件、求证结果在图形中表达出来。

例如：求证等腰三角形两腰上的中线相等，已知：如图，AB=AC，BD、CE分别是AC、AB的中线，求证：BD=CE。

这种方法的特点是能充分利用图形，围绕图形找出解题方法。

（三）卡片法。把已知条件，求证结果用卡片录出来。例如：

这种方法把已知条件逐一展开，这样能充分利用每一个已知条件的作用。

二、探求解题思路

探求解题思路是证明题的关键，也是同學们最敕手的问题，可采用以下方法：

（一）综合图法

把找出来的已知条件、求证结果列出来，再根据已知条件所能提供的信息，利用图形在求证之间架起桥梁。例如：已知矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，求证EB=DF。

分析：

（二）分析图法。与综合图法相反，如上例：

（三）尝试求解法。

对于从已知条件不能直接推导得到的求证结果，还需要作辅助线，同学们应大胆地进行尝试添加辅助线

例如：已知在△ABC中，∠C=2∠B，求证：AB2-BC2=BC·AC

分析：

（1）由AB2-AC2=BC·AC，得AB2=AC（AC+BC）。根据右边（BC+AC）作为一个因式，猜想可否把AC、BC线段合并起来变为一条线段，因此可延长AC到D，使CD=BC，从而有AD=AC+BC，再连结BD。

证明：延长AC至D，使CD=BC，并连结BD

∵BC=CD，∴∠D=∠CBD，

又∵∠ACB=2∠ABC

∠ACD=∠D+∠CBD，

∴∠CBD=∠ABC

即BC为∠ABD的角平分线，

∴AB2=AC·AD，即AB2=AC（AC+BC）

∴AB2-AC2=AC·BC

（2）由2∠B=∠C，可猜想是否作∠C的平分线来求解，故可作∠C的角平分线CD。

证明：作DC平分∠ACB，D在AB上，

∵∠C=2∠B，∴∠B=∠DCB=∠ACD，

在△ABC与△ACD中，

∵.∠A=∠A，∠ACD=∠ABC，

∴ABC∽ACD

∴AB/AC=AC/AD=BC/DC

有AC2=AB·AD，AC·BC=AB·BC

AC2=AB（AB-BD），即AB2-AC2=AC·BC

以上尝试是根据题设出发和求证出发的，但是尝试的方法是多种多样的，要具体问题具体分析。同学们要大胆进行尝试，不断提高解题能力。

（四）探求一题多解

在证明题中，要充分挖掘习题的潜在动力，恰当地采用一题多解的方法进行思路分析，探讨解题规律和习惯。例题的多角度追踪是有利于培养同学们思维的灵活性和灵活运用知识的能力。例如这样一道题：已知在△ABC（AB>AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AE=AD，直线DE和BC的延长线交于P，求证：BP：CP=BC：CE。

这道题可根据辅助线的不同作法有不同的解法。

根据以上三种作图方法便有三种证法（证明从略）。

还有一些证明题，它是同学们接触到的习题里推广或变型所得到的，同学们只要细心回顾、对比，把之与熟题联系起来，就很容易找到解题方法。

三、表达

经过一番努力，弄通了题目的结论与题设的通道，对题目有个全面的掌握后，书写表达证明过程也极为重要。它不仅再现证明过程，而且还能提高同学们的推理思维能力。因此，同学们在这一关也不能放松。书写前，要求同学们根据思路重新回顾一遍，看每一步推理是否正确无误，引用公理、定理、定义、概念是否失实等，培养同学们思考的的严密性，并且书写要清洁明了，层次要分明、严谨规范。

四、检验回顾解题

检验解题主要是检验推理是否有据，论断是否合理，步骤是否连贯，结果是否全面。同样，回顾解题的思路和方法，可以把此类问题的证明思路和方法进行总结和推广。如何证明线段相等，角相等，线段成正比例；如何进行添加辅助线等，把它们进行总结、归类，对以后的证明提供可靠的方法和思想。此外，同学们还应多去探求问题的各种情况，真正把问题搞透了，学活了，就能够融会贯通，举一反三。