整体性教学——初中数学提质增效的有效路径

☉江苏省海安市南莫中学 杨建生

初中数学课程有着自身严密的逻辑体系，它既不同于基础性、综合性的小学数学，也不同于专业性比较强的高中数学，它是两者的过渡，是数学基础教育的核心部分.如何保证初中数学教学高效高质？这是一个十分有价值的研究课题.当下，有不少初中数学教师，注重“课时主义”，有一种“知识点情结”，由此让初中数学教学处于散点、零碎、孤立状态.章建跃博士认为，对于数学概念、定理等数学知识，教师一个个地教，学生一个个地学，容易迷失在局部，只见树木不见森林.作为教师，必须有意识地运用整体性思维，对盘根错节的数学知识进行整合，让知识不再是杂乱无章的瓦砾.只有把握数学知识的内在秩序，才能呈现数学知识的内在结构，形成系统的育人力量.

一、立足“类”，打通学生的思维通道

数学知识是一个整体性、结构性的有机统一的系统，但是为了兼顾学生的数学接受心理，数学知识被人为分割，以“点”的形式分布于教材之中.因此，通常情况下，教师的数学教学是按照“知识点”，也就是按照“课时”展开的.这样的教学优点是有助于突出重点、分散难点.但与此同时，也存在着割裂知识的弊病.作为教师，要立足“类”的视角，把握数学知识的整体的内在的结构.只有这样，才能把握数学知识的逻辑之链，满足学生的成长之需.教学中，教师可以运用“大问题”，设置“长任务”来组织教学.

教学《一元二次方程》，考虑知识结构、体系以及局部知识与整体知识的关系，笔者突破常规教学方式，引导学生根据一次方程学习经验，迁移概括一元二次方程定义、一般形式，获得整体性认知.在此基础上，根据一元二次方程的四种解法之间的关系，引导学生深度探究.从整体到局部，学生在结构性迁移中感受到数学知识的整体性.

1.问题情境

①如何用一张长方形纸做一个无盖的长方体盒子？

②一张长为16cm、宽为12cm的长方形纸，如何做成一个底面积为96cm2的无盖的长方体盒子？

2.自主解答

学生根据题意列出了方程，然后将方程变形，形成了“一元二次方程”的一般形式.对照形式，学生根据经验命名、定义.接着，笔者出示了一系列方程，让学生自主判别是否是一元二次方程.通过判别，深化学生对二次项系数不为0的理性认知.

3.探究方法

接着，笔者借助方程x2=16、（x-1）2=16、x2-2x-15=0，引导学生自主探究.从“直接开平方法”到“因式分解法”，从“配方法”到“公式法”，学生不仅掌握了各种解法，而且理解了各种解法之间的内在关联，形成了解决问题的基本思想方法，即降次；形成了解决问题的基本思路，即将一元二次方程变形转化为“x=a”的形式.在这个过程中，充分发挥学生的主观能动性、创造性.

整体性教学，一方面顺应知识本身的发展逻辑，另一方面，关照学生数学的现实发展水平，赋予了学生自主探究的时空.学生能够主动参与学习，活化了学生的数学思维，启迪了学生的数学想象.学生在结构探索中感受、体验到数学知识的整体性，实现了学生数学素养的提升.

二、聚焦“变”，把握数学的内在本质

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学知识教学，要注重知识生长点和延伸点，把每堂课的知识置于整体知识体系中，注重结构和体系.”整体性教学是一种变易教学，通过“变”，把握数学知识整体与部分的关系，能够把握数学知识的内在本质.聚焦“变”，就是追求那种“会一题，通一类，连一片”的学习境界.

比如，教学《三角形三边关系》，笔者以“等腰三角形”为载体，设计了一组变式习题，旨在让学生深刻理解、掌握“三角形三边关系”.

变式问题1：一个等腰三角形，若底是5cm，腰是8cm，则这个等腰三角形的周长是多少？

变式问题2：一个等腰三角形，若两条边的长度分别是5cm和8cm，则这个等腰三角形的周长是多少？

变式问题3：一个等腰三角形，若两条边的长度分别是8cm和3cm，则这个等腰三角形的周长是多少？

变式问题4：一个等腰三角形的周长是20cm，一条边为6cm，则另两条边的长度分别为多少？

变式问题5：一个等腰三角形的周长是20cm，一条边为4cm，则另两条边的长度分别为多少？

这样的问题变式，聚焦于“三角形的三边关系”.其中，变式问题1重在让学生理解“腰”的内涵；变式问题2重在引导学生对等腰三角形的周长进行分类讨论；变式问题3则将“等腰三角形的腰”与“三角形三边关系”联通起来，其目的在于不能因为讨论腰的可能性而忽略三角形三边关系，凸显三角形三边关系是解决问题的基础；变式问题4则是反其道而行之，重在结合“等腰三角形的特点”考查学生的逆向思维；变式问题5同样是反其道而行之，但不仅要结合“等腰三角形特点”，更要结合“三角形的三边关系”.这样“数变、式变而境不变”的变式教学能够激活学生整体变通的思维能力，有助于学生从多维视角审视数学知识.

在问题变式中，学生对问题的本质展开深度思考.由于教师动态呈现形式，因此学生展开分层比较.在自主思考、小组交流中，学生不断向数学知识的本质深处迈进，逐步进行关联性的数学思考.通过“变”，将数学知识蕴含的深刻本质显露、敞亮出来.学生在变式中感受问题的变化，感受所学知识的关联性，有助于其数学核心素养的发展.

三、观照“联”，洞察知识的整体脉络

初中数学整体性教学不仅重“变”，而且重“联”.所谓“联”，即是左右贯通，上下关联.数学的“联”，是建立在数学思想方法的整体性、内在的一致性基础之上的.在数学教学中，如果我们忽视“联”，就会降低数学知识关联的融合度，弱化学生数理判断的匹配度，还会压缩学生数学思维的兴趣度，分散学生数学思想方法的指向度，等等.关照“联”，能够打通学生的思维通道.南京大学的郑毓信教授认为：“数学教学的问题，不是求全，而是求‘联’.”“联”的数学教学追求一种结构、整体、系统，讲究的是一种集约谋划、连点成线、勾面成体.正是通过“联”，初中数学知识能够成为一个有机体，学生的思维能够成为一种完整的心理表征.

比如，代数是初中数学的重要分支，有着丰富的教学内容.作为数学教师，不仅要把握知识的形，更要领悟知识的内在之神.梳理初中代数内容，主要包括有理数、多项式加减、乘除、一元一次方程、因式分解、一元二次方程、不等式、分式、二元方程组、二次根式以及函数图像，等等.不难发现，整个教材知识是以“方程为纲”、以“元”为序安排的.所谓“以方程为纲”，是指以方程带动数的学习、式的学习，因为方程是整个代数研究的根源.同时，“以方程为纲”要求初中代数教学要从问题开始，还要回归到问题解决之中.“以方程为纲”，我们可以梳理出这样的一条知识脉络：通过字母代数，从有理数引入多项式；从多项式引入一元一次方程；从解方程引入等式性质；从等量关系引入不等量关系，进而引入不等式；从实际复杂问题引入分式方程、二元方程、二次方程；从二次方程引入方程解的函数图像，等等.再看“以元为序”，所谓“以元为序”，是指按未知数由少到多顺序来编排方程，从一元一次方程到一元二次方程，再到二元一次方程组，等等.有了这样的整体把握，教学中就能打通学生的思维通道.

观照“联”，构建知识网络，让学生数学学习富有结构性.其中，既要引导学生进行架构，又要引导学生进行建系，从而能将知识进行横向关联和纵向融通.借助心理同化、顺应，外在知识结构与内在认知结构互动协调、共生共长.

四、建构“体”，形成结构迁移性思维

整体性教学不仅要让学生掌握结构性知识，更为重要的是形成学生的结构性思维.结构性思维有助于学生主动迁移知识、运用知识.在初中数学教学中，教师不仅要教技术、教方法和教技巧，而且要教思维方式、教解决问题的策略.不仅要引导学生“想得到”，而且要教学生“懂逻辑”、“能思维”.为此，教师要建构“体”，引导学生主动迁移，让学生能够融会贯通、举一反三.

以《从分数到分式》教学片段为例，教学中，笔者首先引导学生回顾数的发展历程.学生回顾数学学习历程，通过反思、交流，形成了这样的知识结构，实数包括有理数和无理数，有理数包括整数和分数，分数包括分数概念、分数基本性质、分数的运算等.知识“体”的回顾，为学生学习“分式”发挥着先行组织的作用.在此基础上，学生进行类比，展开新的建构.代数式包括有理式和无理式，有理式包括整式和分式，整式包括单项式和多项式，分式包括分式概念、分式基本性质和分式的运算等.学生由实数的内在结构，推测出“代数式”结构，不仅让学生理解、掌握了代数式的内容，更为重要的是初步感悟到代数式内部知识的逻辑关系.在这个过程中，学生主动迁移、探究、发现，为进一步系统学习奠定了坚实基础.当学生理解、掌握了新知后，笔者有意识地将“数”的知识和“代数式”的知识融合起来，建构了“数与代数”结构体系，小的数学知识系统组合成大的数学知识系统.

在初中数学教学中，教师要善于追溯本源，从学生熟悉的数开始，逐步过渡到式，在数中孕育“式”，在数中“懂逻辑”，并从“数”的逻辑迁移到“式”的逻辑.在这个过程中，学生的结构迁移性思维得到了发展.学生整合了知识能思维，经历了重构会思考，其数学核心素养得到充分地发展.

整体性教学，呈现给学生的是一种全新的、科学化的教学图景.基于学生立场，整体性教学追求知识的整体性、学生学习的整体性以及教师教学的整体性.立足“类”、聚焦“变”、观照“联”、建构“体”，引导学生自建构、互建构、深建构，不断走近学习对象、不断突破数学本身，不断发掘并真正实现数学的学科育人价值.