GM(1,1)模型的在建筑物沉降预测中的应用

鲁玉芬开 明王国现

（1.芜湖职业技术学院建筑系 安徽芜湖 241002；2.芜湖市勘察测绘设计研究院有限责任公司 安徽芜湖 241000）

建筑物的沉降变化是一个动态发展过程，受多种因素综合作用，且这些因素本身小样本、贫信息和不确定性。在一定程度上具有很强的“小样本不确定问题”的灰色特征[1-2]。结合芜湖市弋江嘉园小区建筑物沉降监测数据，利用灰色预测GM(1,1)模型，分析该建筑物沉降的动态变化过程，对建筑物沉降进行定量分析预测。

一、灰色GM(1,1)预测模型

我国邓聚龙教授在20世纪80年代就提出了灰色理论，并用该理论解决信息不完备系统的复杂问题。通过采集已知部分的信息或数据，根据这些数据建立动态模型，充分利用灰色理论中的相关方法来预测事物未来的发展趋势。GM(1,l)模型是实际应用中最为普遍的一种灰色预测模型，是灰色系统理论的核心模型[3-4]，其建模过程大致如下：

第一步：数据列的参数ɑ、级比和光滑比检验

GM（1，1）模型的发展系数 ɑ的可容区为（-2，2）。只有a∈(-2，2)，GM（1，1）模型才有意义。即满足：

则：

上式σ（k）为数据列的级比，ρ（k）为数据列的光滑比。两者关系为：

一般情况下，光滑比值越小，说明数据序列越光滑，变化趋势越平稳。

第二步：作累加生成数列

设原始观测非负时间数列为：

其中n为数列长度；对x(0)进行一次累加生成1—AGO序列x(1)：

第三步：作x(1)(k)的紧邻均值生成序列z(1)(k)

第四步：构造矩阵B和常数向量yN

第五步：最小二乘法求参数

第六步：确定微分方程模型

第七步：得到时间响应式

灰色GM（1，1）模型的模拟值如下：

第八步：模型精度检验

为了确定模型的优劣性，还需要对其进行精度检验，选择精度较好的模型进行预测。相对于灰色模型的精度检验三种方法残差大小检验、关联度检验法和后验差检验，其中后验差检验法运用比较成熟，通过后验差比值C和小误差概率P两个综合评定预测模型的精度[5-7]，具体方法如下：

设原始数据序列和残差数列的方差分别为，S21，S22则：

计算后验差比值和小误差概率得：

指标C和P是后验差检验的两个重要指标，评定一个模型时，C值越小越好，P越大越好，一般要求0.35≤C≤0.65，0.70≤P≤0.95.

二、工程实例应用

以芜湖市弋江嘉园小区建筑物沉降监测数据为例，随机选取该建筑物35号楼3、4、5、6号点的累积沉降量进行GM(1，1)预测分析，具体数据见如下表13。

表13 35#楼3、4、5、6号点的累积沉降量

根据灰色模型理论以及观测数据，编制vb程序，分别对35号楼3、4、5、6号点进行预测；以2-7期累计沉降量作为原始序列，预测8-10期数据，以35号楼3号点为例，具体预测结果如图1：

图1 3号点GM(1，1)预测结果

根据时间响应函数x(k+1)=98.238636exp(0.044848*k)-98.138636，预测该点8-10期数据，计算结果分别为：5.64，5.90，6.17。同理，可获得4,5,6号点沉降预测结果。利用建立的GM(1，1)模型分别对35号楼3,4,5,6号点预计的预测沉降量与累计实际沉降量进行比较，结果如图2,图3,图4,图5。

图2 3号点GM(1，1)模型预测分析图

图3 4号点GM(1，1)模型预测分析图

图4 5号点GM(1，1)模型预测分析图

图5 6号点GM(1，1)模型预测分析图

从图2-5可以发现，35号楼实际沉降量与预测沉降量发展趋势一致，均随时间递增，没有异常的沉降。第8期预测值与实际值非常接近，预测结果较好。第9、10期累计沉降量实际值与预测值之间差别较大，其原因主要是灰色预测对于误差的因素考虑的比较少，由数据内在的规律建立模型导致的，同时也说明GM(1，1)模型在短期预测建筑物沉降时具有较好的预测精度，同时随着工程周期的延长，用前期的监测数据进行建筑物沉降预测，其预测精度会逐渐降低。

三、结语

工程实例表明，运用GM(1，1)模型预测建筑物的沉降发展趋势，无需采集大量的观测数据，利用少量真实有效的观测数据建立预测模型，便可较为真实地反映出建筑物沉降发展趋势。但由于建筑物沉降变化是一个动态发展过程，受到系统内外多方面因素的综合作用，利用远期的观测数据所反映的建筑物在沉降后期的发展趋势精确度不是很高。因此，为了提高建筑物沉降预测精度，必须及时补充近期新的观测数据并修正预测模型，以获得精度较高的建筑物沉降发展趋势，为相关部门合理安排施工工序以及面对出现异常沉降及时采取应急措施提供决策性指导意见。