高等数学教学中的两点注记

邹定宇 王世飞

【摘 要】高等数学中有些定理的条件，学生容易混淆，有些定理的学生不能灵活运用。本文讨论了一元函数极值求法和分段函数求导中学生易错的问题，供初学者参考。

【关键词】高等数学教学；一元函数极值求法；分段函数求导

【中图分类号】G42 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2018）12-0052-01

A discussion on the paper writing of mathematical modeling from the A title in2016 college students mathematical modeling contest

〖WTBZ〗Shifei Wang Dingyu Zou

（Changzhou University， Mathematics and Physics， Changzhou， Jiangsu 213164）

【Abstract】〖WTBZ〗The conditions of some of the theorems in higher mathematics are confusing for students， and students of some theorems cannot use them flexibly. This article discusses the problem of one-variable function extremum seeking and piecewise function derivation for students' error-prone problems for beginners' reference.

【Key words】Advanced mathematics teaching； one-variable function extremum method； piecewise function derivation

一、前言

对于理工科院校来说，高等数学是一门重要的公共基础课。其教学质量直接影响到学生后续专业课程的学习和能力的提高。高等数学做为重要的基础课一直以来被广泛重视。如何才能学好高等数学，是广大一线数学教师和学生需要认真思考的问题在讨论分段函数在分段点处的导数时，初学孝者往往容易对分段点两边的函数表达式利用导数的基本公式和运算法则求导，然后分别去极限来判定，不能理解在分段点处用导数定义求导。从学生解题中常见的错误解法入手，引导学生找出问题所在，更正问题。函数的极值问题不仅是高等数学学习中的一个重难点，也是人们生活实际中经常碰到的一个有应用价值的问题.对于连续函数的极值问题，现行高等数学教材[1]给出了极值存在的必要条件和第一、第二判别法，对于不连续的分段函数，本文举例研究其极值问题。二、分段函数在分段点处的导数问题

例1：设f（x）=〖JB（{〗eax，x<0b+sin2x，x≥0〖JB）〗为可导函数，a，b应取什么值？

错误的解法：（eax） |x=0=a，（b+sin2x）'|x=0=2 所以，a=2，b=1.

分析此做法的依据是：导函数在 处连续，然而可导并不一定能推出导函数连续。

讲解： 首先举例说明一个函数可导，但导函数不连续的例子。

例如问题：设f（x）=〖JB（{〗x2sin〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗，x≠0，0，x=0〖JB）〗 为可导函数，但其导函数在x=0处不连续。

正确解法：

〖XC82.JPG；%25%25〗

所以a=2

此问题学生凑巧答案正确，但思路是错的，答案凑巧正确也是为什么学生容易出错的原因，如果学生只注重答案，就不能正确掌握该知识点。当遇到下面类似的问题将不会求解。

例2：f（x）=〖JB（{〗sinx，x≤0，〖KF（〗x〖KF）〗，x>0.〖JB）〗 因为：（〖KF（〗x〖KF）〗）'|x=0 不存在用学生的错误解法就无从求起了。三、函数的极值问题

例3：设f（x）=〖JB（{〗x2x，x>0，x+2，x≤0.〖JB）〗 ， 求f（x） 的极值

解：当x>0，f'（x）=x2x（2Inx+2） ， 令：f'（x）=0， 得x=e-1 为驻点。

又因为：f（0+）=〖XC83.JPG；%25%25〗

f（0）=2

〖XC84.JPG；%25%25〗

从而可得：

f（0）=2为极大值点，f（〖SX（〗1〖〗e〖SX）〗） 为极小值。

从上例可得：

x=0为f（x） 的跳跃间断点，并不连续，但在x=0 处取得了极值。

但对函数：f（x）=〖JB（{〗x+2，x>0，x2x，x≤0.〖JB）〗 在x=0 不能取得极值。所以在求极值时，要灵活运用极值的定理，不能死记极值定理的条件。

高等数学在高等教育中占有相当重要的地位，其应用十分广泛。高等数学教学内容改革能否切实地深入课堂，对于学生分析问题解决问题能力的培养有着重要的意义。我们要改变教学观念，加大教材改革的力度与进程，将数学建模、数学实验等的思想方法有效地融入到教学内容中。同时，利用微课、网络课堂等现代化的信息手段，来补充教学内容。从而，尽快实现高等数学教学内容的科学化、合理化。

基金项目：常州大学信息、数理学院教研课题 2015XSJY21，国家自然科学基金11501056

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：155-157.

作者簡介：邹定宇（1978-），江苏武进人，讲师，硕士，从事生物数学、高等数学教学研究及数学建模研究。