一道习题的拓展与思考

徐策

摘 要：众所周知，数学课本中的习题具有范例作用。通过对习题的深入挖掘、规范讲解和适量拓展训练，使学生深刻理解数学中的基本概念、法则、性质、定理等，从而提高学生运用数学思想方法提出、分析、解决数学问题的能力。

关键词：教材习题；拓展训练；数学思想

一、原题呈现

题目（人教版七年级下册第五章“5.3平行线的性质”综合运用题第7题第（2）小题）如图所示，AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）

（A）180° （B）270°

（C）360° （D）540°

解析：因为AB∥CD∥EF，所以∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF=180°，所以∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.故选（C）

二、习题拓展

拓展题： 一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD=______度.

解：过B作BF∥CD，则有CD∥BF∥AE，

所以∠DCB+∠CBF=180°，∠FBA+∠BAE=180°.即∠DCB+∠ABC+∠BAE=360°.又因为BA⊥AE， 所以∠BAE=90°，所以∠ABC+∠BCD=360°-90°=270°.

三、拓展作业

作业1 如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面的四个图形中∠APC与∠PAB﹑∠PCD的关系，请你从所得关系中任意选取一个加以说明.

作业2 如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间.

（1）求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD；

（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG；

①如图2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；

②如图3，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由.

【设计说明】以上两道题是关于平行线的性质的应用，在此基础上增加了平移和角平分线的知識，需要添加辅助线构造平行线，运用类比、平移、方程等思想方法解决。同时，为了做到“下要保底，上不封顶”教学目标，分层设计布置作业，要求后进生解决第1题和第2题的第（1）题，中等生解决第2题的第（1）题和第（2）题的第①题，学有余力生解决第2题的第（2）题的第①、②题.

四、四点反思

基于以上论述，要做好四方面的工作：1、注重习题研究，发挥习题作用.法国数学家笛卡尔曾指出，我所解决的每一个问题，都将成为一个范例，以用于其它的问题.初中数学教材中的习题具有典型性、示范性及应用性。它是课时知识、技能，思想方法的载体和标杆，要求教师细心钻研教材，准确探究教材编写的导向作用。2、注重拓展训练，提高知识运用.习题的拓展，直接影响学生的思维能力的拓展和发展，经过观察、思考、训练学生的灵感，不断挖掘问题本质，才能水到渠成的解决一个个难题。3、注重分层教学，得到不同发展。新课程标准指出，数学教学要使学生获得良好的基础知识，使不同的学生得到不同的发展.分层设计布置作业也是值得关注的教学环节之一，通过适度作业拓展和分层完成，促使教学活动向以学定教，顺学拓展和有一定深度的方向发展.4、注重方法渗透，培养反思习惯.数学思想方法是具体的数学知识的灵魂，它对一个人的影响往往要大于具体的数学知识。在数学教学和学习中，注重点拨，及时发现知识的生长点，思维的连接点，知识的迁移点，找准数学模型，提高解题的准确性。同时总结解题的切入点，易错题及优点（技巧和思想方法），不断反思，不断提炼，不断完善，在漫长的过程中渗透数学思想方法，提高解题能力。

参考文献：

[1]课程教材研究所，中学数学课程教材研究所中心.义务教育教科书数学（七年级下册）[M].北京：人民教育出版社出版社，2012.

[2]钱德春.例谈教材习题对对教学的指向意义[J].中国数学教育（初中版），2015（9）.